Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau \(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(x+y\right)^2}\)
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với \(\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge2ax+2by\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunyakovsky nên (*) đúng
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\)\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
Ta cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{153}{4}\)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy và chú ý giả thiết \(a+b+c\le\frac{3}{2}\), ta được:\(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}\)\(=\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}+\frac{1215}{16\left(a+b+c\right)^2}\)\(\ge2\sqrt{\left(a+b+c\right)^2.\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{1215}{16.\frac{9}{4}}=\frac{153}{4}\)
Bất đẳng thức đã được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
định lý hàm số sin:
a/ \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\)2R
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[180o - (B+C)] = 2R.sin(B+C)
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được:
\(\frac{2R\times sinB}{cosB}+\frac{2R\times sinC}{cosC}=\frac{2R\times sin\left(B+C\right)}{sinBsinC}\)
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> cosBcosC = sinB.sinC
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0
<=> cos(B+C) = 0
<=> B+C = 90o
vậy tam giác ABC vuông tại A
b/cosB+c/cosC=a/sinB.sinC (*)
Áp dụng định lý hàm số sin:
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[1800 - (B+C)] = 2R.sin(B+C)
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được:
2R.sinB/cosB + 2RsinC/cosC = 2R.sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> cosBcosC = sinB.sinC
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0
<=> cos(B+C) = 0
<=> B+C = 900
Copy paste lại bài hôm rồi, đỡ phải nghĩ:v
Ta chứng minh bổ đề sau: cho hai dãy số dương \(a\ge b\ge c\) và \(x\ge y\ge z\) thì \(ax+by+cz\ge bx+cy+az\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(a-b\right)x+\left(b-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x-\left(a-b\right)y+\left(a-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(a-c\right)\left(y-z\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3\ge b^3\ge c^3\\\frac{1}{b^2+c^2}\ge\frac{1}{c^2+a^2}\ge\frac{1}{a^2+b^2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\ge\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}+\frac{a^3}{a^2+b^2}\)
Ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(P\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3}=\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ac}+\frac{b^3}{c^2+ab+bc+ac}+\frac{c^3}{a^2+ab+bc+ac}\)
\(=\frac{a^3}{(b+a)(b+c)}+\frac{b^3}{(c+a)(c+b)}+\frac{c^3}{(a+b)(a+c)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^3}{(b+a)(b+c)}+\frac{b+a}{8}+\frac{b+c}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{8.8}}=\frac{3a}{4}\)
\(\frac{b^3}{(c+a)(c+b)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\geq \frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq \frac{3c}{4}\)
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
\(\text{VT}\geq \frac{a+b+c}{4}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM: \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)=9\Rightarrow a+b+c\geq 3\)
Do đó: \(\text{VT}\geq \frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Theo em bài này có 2 lỗi sai, thứ nhất:
Theo BĐT dòng 3 thì ta có :\(a+b+c\ge1\)
Tuy nhiên dấu đẳng thức lại xảy ra khi \(a=1,b=c=0\) (Thực ra thay đẳng thức a = b = c = 1 vào nó cũng không thỏa mãn!)
Thứ 2: Dòng kế cuối, nếp áp dụng BĐT dòng 4 thì: \(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\ge\frac{\left(a+b+c\right)}{9}\ge\frac{\sqrt[3]{abc}}{3}?!\)