Question

[Sách Giáo Khoa]

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Chứng minh :

a) \(BH=CK\)

b) \(\Delta ABH=\Delta ACK\)

Answer 1

[Lê Vương Kim Anh]

A B C D E H K

a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A

=> \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

mà \(\widehat{ABD}+\widehat{ABC}=180^0\) (kề bù)

và \(\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^0\) (kề bù)

Do đó: \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ACE\) có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (cmt)

DB = CE (gt)

Do đó: \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{D}=\widehat{E}\) ( hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta DBH\) và \(\Delta ECK\) có:

\(\widehat{DHB}=\widehat{CKE}\) ( = 90⁰)

DB = CE (gt)

\(\widehat{D}=\widehat{E}\)(cmt)

Do đó: \(\Delta DBH=\Delta ECK\) (ch -gn)

=> BH = CK (hai cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACK\) có:

CK = BH ( cmt )

\(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}\left(=90^0\right)\)

AB = AC (gt)

Do đó: \(\Delta ABH=\Delta ACK\) ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Answer 2

[Phạm Thảo Vân]

a) Vì ∆ABC cân tại A nên góc ABC =góc ACB (tính chất tam giác cân)

Ta có: góc ABC + góc ABD=180^o (hai góc kề bù)

góc ACB + góc ACE=180^o (hai góc kề bù)

Suy ra: góc ABD = góc ACE

Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có:

AB = AC (gt)

góc ABD = góc ACE (chứng minh trên)

BD = CE (gt)

Suy ra: ∆ABD = ∆ACE (c.g.c)

⇒ góc D = góc E (hai góc tương ứng)

Xét hai tam giác vuông BHD và CKE, ta có:

góc BHD =góc CKE=90^o

BD = CE (gt)

góc D = gócE (chứng minh trên)

Suy ra: ∆BHD = ∆CKE (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác vuông AHB và ACK, ta có:

góc AHB = gócAKC = 90^o

AB = AC (gt)

BH = CK (chứng minh trên)

Suy ra: ∆ABH = ∆ACK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)