Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Dễ thấy tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn đường kính MN.
b) Ta có tứ giác AMNC nội tiếp nên \(\angle BCM=\angle BAN\). Suy ra \(\Delta BCM\sim\Delta BAN\left(g.g\right)\).
Từ đó \(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{CM}{AN}\).
c) Gọi P' là trung điểm của MC.
Khi đó P' là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNC.
Ta có \(\widehat{AP'N}=2\widehat{ACN}=180^o-2\widehat{ABC}=180^o-\widehat{MON}\). Suy ra tứ giác AONP' nội tiếp.
Từ đó \(P'\equiv P\). Ta có \(OP=OP'=\dfrac{BC}{2}\) (đường trung bình trong tam giác BMC) không đổi khi M di động trên cạnh AB.
\(\left(1-a+a^2\right)\left(1-b+b^2\right)=1-b+b^2-a+ab-ab^2+a^2-a^2b+a^2b^2.\)
\(=\frac{2-2a-2b+2b^2+2ab+2a^2-2ab\left(a+b\right)+2a^2b^2}{2}\)\(=\frac{\left(a-b\right)^2+1+a^2b^2+\left(1-a\right)^2\left(1-b\right)^2}{2}\ge\frac{1+a^2b^2}{2}\)
Tương Tự : \(\left(1-c+c^2\right)\left(1-d+d^2\right)\ge\frac{1+c^2d^2}{2}\)
(1-a+a2) (1-b+b2) = 1-b+b2-a+ab-ab2+a2-a2b+a2b2.
=2-2a-2b+2b2+2ab+2a2-2ab(a+b)+2a2b2 =(a-b)2+1+a2b2+(1-a)2(1-b)2> 1+a2b2 2 2 Tương Tự:(1-c+c2) (1-d+d2) > 1+c2d2 2
A B C O T M N
Gọi O là tâm ngoại tiếp của \(\Delta\)ABC. Ta sẽ chứng minh O thuộc (ATN).
Ta có \(\Delta\)ABC cân tại A có tâm ngoại tiếp O => ^OAC = ^OAB = ^OBA => ^OAT = ^OBN
Ta thấy ^NBM = ^ABC = ^ACB = ^NMB (Do MN // AC) => \(\Delta\)MNB cân tại N => BN = MN
Lại có AN // TM, AT // MN suy ra tứ giác ATMN là hình bình hành => MN = AT
Do đó BN = AT, kết hợp với ^OAT = ^OBN, OA = OB suy ra \(\Delta\)OTA = \(\Delta\)ONB (c.g.c)
=> ^OTA = ^ONB = ^ONA => Bốn điểm O,A,T,N cùng thuộc một đường tròn
Hay đường tròn (ATN) luôn đi qua điểm O cố định (đpcm).
Cậu tự vẽ hình nhé
a, kẻ MK vuông BC, NG vuông BC
Tam g ABC cân => g ABC= g ACB
Lại có g ACB = g GCN (dd)
=> g GCN = g ABC=g MBK
Xét tg MBK và tg NCG
g MKB= g NGC =90°
g MBK = g NCG (cmt)
MB= CN(gt)
=> tg MBK= tg NCG ( ch-gn)
=> MK=NG (2 cạnh tương ứng)
Vì MK vuông BC, NG vuông BC => NG// MK
=> g GNM = g KMN ( so le trong )
Xét tg MKD VÀ TG NGD
g MKD = g DGN = 90°
g KMD = gDNG ( cmt)
Mk= GN (cmt)
=> tg MKD = tg NGD (_cgv-gn)
=> MD= ND (2 ctu)
=> D là td MN ( dpcm)
Xét tam giác cân ABC , AH là đường cao => AH là trung trực
Lại có E thuộc AH => EC= EB
Xét tg ABE và tg ACE
AB=AC (tg ABC cân)
BE= EC (cmt)
AE cạnh chung
=> tg ABE = tg ACE (ccc)
=> g ABE = g ACE ( 2 góc tương ứng)(1)
Lại có DE là trung trực MN => ME = NE
Xét tg MBE và tg NCE
MB = NC ( gt)
ME = NE (cmt)
BE = CE (cmt)
=> tg MBE = tg NCE (ccc)
=> g ECN = g EBM (2 góc t u ) (2)
Từ 1), 2) => g ECA = g ECN
Lại có 2 góc này bù nhau
=>g ACE= 90°= g ABE
Xét tg ABE vuông
+ theo đl pytago:
=> AE = √( ab2+bE2)= √( 62+4,52)= 7,5 (cmcm)
+ BH là đcao, theo hệ thức lượng trong tg vuông
=>+ AB2= AH.AE => AH= 62:7,5=4,8 (cmcm)
+ 1/(BH2)= 1/(AB2)+1/(BE2) => BH = √(1:( (1/62)+(1/4,52))= 3,6(ccmcm)
=> BC= 3,6.2= 7,2 (cm)
=> dt tg ABC có đcao AH là 7,2.4,8.1/2= 28,08(cm2)
Vậy S tg ABC = 28,08 cm2