Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C H E F K x
a, Ax là phân giác của góc BAC (gt)
K thuộc Ax
KE _|_ AB (gt); KF _|_ AC (gt)
=> KE = KF (định lí) (1)
K thuộc đường trung trực của BC (gt)
=> KB = KC (Định lí)
xét tam giác EKB và tam giác FKC có : góc BEK = góc KFC = 90
=> tam giác EKB = tam giác FKC (ch-cgv)
=> BE = CF (đn)
a ) Ta có Ax là đường trung trực của tam giác ABC => Ax là đường trung trực của tam giác ABC
Xét tam giác BEK vuông tại E và tam giác CFK vuông tại F ta có :
BK = KC ( cmt )
BKE = CKF ( đối đỉnh )
=> Tam giác BEK = tam giác CFK
=> BE = CF ( 2 cạnh tương ứng )
mik chỉ làm đc câu a thoi maf hình như đề bị sai á
A B C E F 1 2 D M P I O
a, +) Xét \(\Delta OAE\) và \(\Delta OAF\) có:
\(\widehat{E}=\widehat{F}=90^o\left(gt\right)\)
\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(gt\right)\)
OA là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta OAE=\Delta OAF\) (cạnh huyền, góc nhọn)
=> OE = OF và AE = À
+) Xét \(\Delta OPB\) và \(\Delta OPC\) có:
BP = PC (gt)
\(\widehat{BPO}=\widehat{CPO}=90^o\) (vì OP là trung trực của BC)
OP là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta OPB=\Delta OPC\left(c.g.c\right)\)
=> OB = OC
+) Xét \(\Delta BOE\) và \(\Delta COF\) có:
\(\widehat{E}=\widehat{F}=90^o\left(gt\right)\)
OB = OC (cmt)
OE = OF (cmt)
\(\Rightarrow\Delta BOE=\Delta COF\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
=> BE = CF (đpcm)
b, Kẻ BD // AC (D \(\in\) EF)
\(\Rightarrow\widehat{BDM}=\widehat{MFC};\widehat{MBD}=\widehat{MCF}\) (so le trong)
Vì \(\Delta AEF\) cân (AE = AF) => \(\hept{\begin{cases}\widehat{BDE}=\widehat{AFE}\\\widehat{BED}=\widehat{AFE}\end{cases}\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{BED}}\) => \(\Delta BED\) cân => BE = BD = CF (vì BE = CF)
Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta MCF\) có:
\(\widehat{MBD}=\widehat{MCF}\)
BD = CF (cmt)
\(\widehat{BDM}=\widehat{MFC}\)
\(\Rightarrow\Delta MBD=\Delta MCF\) (g.c.g)
=> MB = MC
=> M là trung điểm của BC (đpcm)
c, Xét \(\Delta AEI\)và \(\Delta AFI\) có:
AE = AF
góc A1 = góc A2
AI là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta AEI=\Delta AFI\left(c.g.c\right)\)
=> góc AIE = góc ÀI
Mà góc AIE và góc AIF kề bù => \(\widehat{AIE}=\widehat{AIF}=90^o\Rightarrow AO⊥EF\) tại I
Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông:
\(\Delta IAE\) có \(\widehat{I}=90^o\Rightarrow IA^2+IE^2=AE^2\left(1\right)\)
\(\Delta IAF\) có \(\widehat{I}=90^o\Rightarrow IA^2+IF^2=AF^2\left(2\right)\)
\(\Delta IOE\) có \(\widehat{I}=90^o\Rightarrow IE^2+IO^2=EO^2\left(3\right)\)
\(\Delta IOF\) có \(\widehat{I}=90^o\Rightarrow IF^2+IO^2=OF^2\left(4\right)\)
Cộng (1),(2),(3),(4) vế với vế ta được:
\(2\left(IA^2+IE^2+IO^2+IF^2\right)=\left(AE^2+EO^2\right)+\left(AF^2+OF^2\right)\)
\(\Delta AEO\)vuông ở E nên \(AE^2+EO^2=AO^2\) (5)
\(\Delta AFO\)vuông ở F nên \(AF^2+OF^2=AO^2\) (6)
Từ (5) và (6) => \(2\left(IA^2+IE^2+IF^2+IO^2\right)=AO^2+AO^2=2AO^2\) hay \(IA^2+IE^2+IO^2+IF^2=AO^2\) (đpcm)
A B C E F O
| GT | △ABC . BE ⊥ AC, CF ⊥ AB. BE = CF = 8 cm BF và BC tỉ lệ 3 và 5 BE ∩ CF = {O} . Nối AO với EF |
KL | a, △ABC cân b, BC = ? c, AO là trung trực EF |
Bài làm:
a, Xét △BFC vuông tại F và △CEB vuông tại E
Có: BC là cạnh chung
CF = BE (gt)
=> △BFC = △CEB (ch-cgv)
=> FBC = ECB (2 góc tương ứng)
Xét △ABC có: ABC = ACB (cmt)
=> △ABC cân tại A
b, Gọi độ dài của cạnh BF và BC là a, b (cm, a, b > 0)
Theo bài ra, ta có: \(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}\)\(\Rightarrow b=\frac{5a}{3}\)
Xét △FBC vuông tại F có: \(BC^2=BF^2+FC^2\)(định lý Pitago)
\(\Rightarrow b^2=a^2+8^2\)\(\Rightarrow\left(\frac{5a}{3}\right)^2=a^2+64\)\(\Rightarrow\frac{25}{9}.a^2-a^2=64\)
\(\Rightarrow a^2\left(\frac{25}{9}-1\right)=64\)\(\Rightarrow a^2.\frac{16}{9}=64\)\(\Rightarrow a^2=64\div\frac{16}{9}=36\)\(\Rightarrow a=6\)
\(\Rightarrow b=\frac{5}{3}a=\frac{5}{3}.6=10\)\(\Rightarrow BC=10\)(cm)
c, Vì △ABC cân tại A => AB = AC
Ta có: AB = AF + FB
BC = AE + EC
Mà AB = AC (cmt) ; BF = EC (△BFC = △CEB)
=> AF = AE
=> A thuộc đường trung trực của FE (1)
Ta có: DBC = FBE + EBC
ECB = ECF + FCB
Mà DBC = ECB (cmt); BCF = EBC (△BFC = △CEB)
=> FBE = ECF
Xét △BFO vuông tại F và △CEO vuông tại E
Có: FBO = ECO (cmt)
BF = CE (△BFC = △CEB)
=> △BFO = △CEO (cgv-gnk)
=> FO = OE (2 cạnh tương ứng)
=> O thuộc đường trung trực của FE (2)
Từ (1) và (2) => đường thẳng AO là trung trực của EF.