Question

[Nguyễn Ngô Mai Trang]

cho tam gia OAN vuong tai O , OA = 3cm và ON = 4cm .Phan giac cua AON cat AN tai E .

a) Tinh AE va NE .

b) tu E ke EH va EK lan luot vuong voi OA ,ON . Tu giac OHEk la hinh gi tinh chu vi va dien tich cua OHEk

Answer 1

[Lê Thị Thục Hiền]

Tự kẻ hình

a,Áp dụng đ/lý py-ta-go vào tam giác vuông OAN có:

\(OA^2+ON^2=AN^2\)

<=> \(AN^2=3^2+4^2=25\)

=> AN=5(cm)

Có AE là phân giác của \(\widehat{AON}\)

=> \(\frac{EA}{AO}=\frac{EN}{ON}\)

=>\(\frac{EA}{AO}=\frac{EN}{ON}=\frac{EA+EN}{AO+ON}=\frac{AN}{3+4}=\frac{5}{7}\)

Do đó: \(\frac{EA}{AO}=\frac{5}{7}\) <=> \(\frac{EA}{3}=\frac{5}{7}\)<=> \(EA=\frac{15}{7}\left(cm\right)\)

\(\frac{EN}{ON}=\frac{5}{7}\) <=> \(\frac{EN}{4}=\frac{5}{7}\) <=> \(EN=\frac{20}{7}\) (cm)

b, Dễ dàng CM được OHEK là hình chữ nhật(vì t/giác có 3 góc vuông) (1)

Có OE là pgiac của \(\widehat{AON}\)=> \(\widehat{HEO}=\frac{90^0}{2}=45^0\)

mà tam giác HOE vuông => Tam giác HOE cân tại H => HE=HO (2)

Từ (1),(2) => OHEK là hình vuông(vì hcn có hai cạnh kề bằng nhau)

Ap dụng đlý Ta-lét vào tam giác AON có:

\(\frac{EH}{ON}=\frac{AE}{AN}\) <=> \(EH=\frac{AE.ON}{AN}=\frac{\frac{15}{7}.4}{5}=\frac{12}{7}\)(cm)

Diện tích hv OHEK là : S=EH²=\(\frac{144}{49}\) (cm)

Answer 2

[Trần Thanh Phương]

a) Áp dụng ĐL Pytago :

\(AN=\sqrt{OA^2+ON^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

Theo tính chất đường phân giác trong giác giác OAN ta có :

\(\frac{AE}{OA}=\frac{EN}{ON}\Leftrightarrow\frac{AE}{3}=\frac{EN}{4}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{AE}{3}=\frac{EN}{4}=\frac{AE+EN}{3+4}=\frac{5}{7}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=\frac{15}{7}\\EN=\frac{20}{7}\end{matrix}\right.\)

b) Xét tứ giác OHEK có :

\(\widehat{HOK}=\widehat{OHE}=\widehat{OKE}=90^0\)nên tứ giác OHEK là hình chữ nhật.

Mặt khác \(OE\) là đường phân giác của \(\widehat{HOK}\) nên OHEK là hình vuông.

Xét tam giác AON có EK // OA, áp dụng định lý Ta-lét :

\(\frac{NK}{KO}=\frac{NE}{EA}=\frac{ON}{OA}=\frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{NK}{4}=\frac{KO}{3}=\frac{NK+KO}{3+4}=\frac{4}{7}\)

\(\Rightarrow OK=\frac{12}{7}\)

Chu vi của OHEK là : \(\frac{12}{7}\cdot4=\frac{48}{7}\)(cm)

Diện tích của OHEK là : \(\frac{12}{7}\cdot\frac{12}{7}=\frac{144}{49}\)(cm²)

Vậy...