Câu hỏi của Admin (a@olm.vn)

Question

Cho $x,y,z$ là ba số dương thỏa mãn điều kiện $x+2y\le3z$ . Chứng minh rằng

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\ge\dfrac{3}{z}$.

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉ · Accepted Answer

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+2y}=\frac{9}{x+2y}$(1)

Từ GT x + 2y ≤ 3z => $\frac{1}{x+2y}\ge\frac{1}{3z}$<=> $\frac{9}{x+2y}\ge\frac{3}{z}$(2)

Từ (1) và (2) => $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{x+2y}\ge\frac{3}{z}$=> $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge\frac{3}{z}\left(đpcm\right)$

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=1

Câu trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+2y}=\frac{9}{x+2y}$(1)

Từ GT x + 2y ≤ 3z => $\frac{1}{x+2y}\ge\frac{1}{3z}$<=> $\frac{9}{x+2y}\ge\frac{3}{z}$(2)

Từ (1) và (2) => $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{x+2y}\ge\frac{3}{z}$=> $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge\frac{3}{z}\left(đpcm\right)$

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=1