Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{18}{x}}=...\)
b/ \(\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\frac{x-1}{2}.\frac{2}{x-1}}+\frac{1}{2}=...\)
c/ \(\frac{3x}{2}+\frac{1}{x+1}=\frac{3\left(x+1\right)}{2}+\frac{1}{x+1}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{3\left(x+1\right)}{2}.\frac{1}{x+1}}-\frac{3}{2}=...\)
d/ \(\frac{x}{3}+\frac{5}{2x-1}=\frac{2x-1}{6}+\frac{5}{2x-1}+\frac{1}{6}\ge2\sqrt{\frac{2x-1}{6}.\frac{5}{2x-1}}+\frac{1}{6}=...\)
e/ \(\frac{x}{1-x}+\frac{5}{x}=\frac{x}{1-x}+\frac{5-5x+5x}{x}=\frac{x}{1-x}+\frac{5\left(1-x\right)}{x}+5\ge2\sqrt{\frac{x}{1-x}.\frac{5\left(1-x\right)}{x}}+5=...\)
f/ \(\frac{x^3+1}{x^2}=x+\frac{1}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\frac{1}{x^2}}=...\)
g/ \(\frac{x^2+4x+4}{x}=x+\frac{4}{x}+4\ge2\sqrt{x.\frac{4}{x}}+4=...\)
\(P=\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^3}{y^3+16}\right)=\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^3}{y^3+8+8}\right)\ge\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^3}{12y}\right)=\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^2}{12}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{16}\left(3-\frac{xy^2+yz^2+zx^2}{12}\right)\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\Leftrightarrow x^2+yz\le xy+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2z+yz^2\le xyz+xz^2\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le xy^2+xz^2+xyz\le xy^2+xz^2+2xyz\)
\(\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le x\left(y+z\right)^2=\frac{1}{2}.2x\left(y+z\right)\left(y+z\right)\le\frac{1}{54}\left(2x+2y+2z\right)^3\)
\(\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le4\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{16}\left(3-\frac{4}{12}\right)=\frac{1}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;0\right)\) và hoán vị
Cách chứng minh này ko hoàn toàn chặt chẽ đâu :D
Nó có nhiều chỗ rất lỏng đấy
Từ bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ta suy ra được \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
Áp dụng vào bài toán của bạn :
a/ \(y=\left(x+3\right)\left(5-x\right)\le\frac{\left(x+3+5-x\right)^2}{4}=...............\)
b/ Tương tự
c/ \(y=\left(x+3\right)\left(5-2x\right)=\frac{1}{2}.\left(2x+6\right)\left(5-2x\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(2x+6+5-2x\right)^2}{4}=.............\)
d/ Tương tự
e/ \(y=\left(6x+3\right)\left(5-2x\right)=3\left(2x+1\right)\left(5-2x\right)\le3.\frac{\left(2x+1+5-2x\right)^2}{4}=.......\)
f/ Xét \(\frac{1}{y}=\frac{x^2+2}{x}=x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{2}{x}}=2\sqrt{2}\)
Suy ra \(y\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
..........................
g/ Đặt \(t=x^2\) , \(t>0\) (Vì nếu t = 0 thì y = 0)
\(\frac{1}{y}=\frac{t^3+6t^2+12t+8}{t}=t^2+6t+\frac{8}{t}+12\)
\(=t^2+6t+\frac{8}{3t}+\frac{8}{3t}+\frac{8}{3t}+12\)
\(\ge5.\sqrt[5]{t^2.6t.\left(\frac{8}{3t}\right)^3}+12=.................\)
Từ đó đảo ngược y lại rồi đổi dấu \(\ge\) thành \(\le\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\\\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\end{cases}}\)
Cộng theo từng vế
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}\)
\(\Rightarrow1\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}\)
\(\Rightarrow1\le x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x+y+z}{2}\left(1\right)\)
Ta có : \(A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số :
\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x+y+z}{2}\le\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt !!!
Ta có: \(1=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\)
=> \(x+y+z\ge1\)
Có: \(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z =1/3
Vậy min A = 1/2 <=> x = y = z = 1/3
Bài này có cách lập bảng biến thiên,nhưng mình sẽ làm cách đơn giản
Từ giả thiết \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow0< x,y,z< 1\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi cho 3 cặp số dương \(2x^2;1-x^2;1-x^2\)
\(\frac{2x^2+\left(1-x^2\right)+\left(1-x^2\right)}{3}\ge\sqrt[3]{2x^2\left(1-x^2\right)^2}\le\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\Leftrightarrow\frac{x}{y^2+z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\left(1\right)\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{z^2+x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\left(2\right)\\\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng các vế (1), (2) và (3) ta được \(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
1. Ta có \(1+x^2\ge2x\), \(1+y^2\ge2y\), \(1+z^2\ge2z\)
Suy ra \(P=\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
Chọn D. \(P\le\frac{1}{2}\)
2. a) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right)\left(x+y\right)\ge\left[\left(\sqrt{\frac{1}{x}.x}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{4}{y}.y}\right)^2\right]=\left(1^2+2^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x^2}=\frac{4}{y^2}\\x+y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{10}{3}\\y=\frac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
Mình áp dụng luôn Cô - si cho các số ta được
a) \(\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}\cdot\frac{18}{x}}=2.\sqrt{9}=2.3=6\)
b) \(y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\frac{x-1}{2}\cdot\frac{2}{x-1}}+\frac{1}{2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)
c) \(\frac{3x}{2}+\frac{1}{x+1}=\frac{3\left(x+1\right)}{2}+\frac{1}{x+1}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{3\left(x+1\right)}{2}\cdot\frac{1}{x+1}}-\frac{3}{2}=2\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}=\frac{-3+2\sqrt{6}}{2}\)
h) \(x^2+\frac{2}{x^2}\ge2\sqrt{x^2\cdot\frac{2}{x^2}}=2\sqrt{2}\)
g) \(\frac{x^2+4x+4}{x}=\frac{\left(x+2\right)^2}{x}\ge0\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{k}.Dau"="xayrakhi:x=y=z=\frac{k}{3}\)
\(y=\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\frac{2\left(x-1\right)}{2\left(x-1\right)}}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x-1}{2}=\frac{2}{x-1}\Rightarrow x=3\)
\(y=\frac{5\left(3x-1\right)}{9}+\frac{5}{3x-1}+\frac{5}{9}\ge2\sqrt{\frac{25\left(3x-1\right)}{9\left(3x-1\right)}}+\frac{5}{9}=\frac{35}{9}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{4}{3}\)
\(y=-2+\frac{2}{1-x}+\frac{3}{x}\ge-2+\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{1-x+x}=3+2\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1-x}{\sqrt{2}}=\frac{x}{\sqrt{3}}\Rightarrow x=3-\sqrt{6}\)
\(y=x+\frac{9}{x}+2020\ge2\sqrt{\frac{9x}{x}}+2020=2026\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=3\)