Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vế 1:
\(x^3+y^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: \(x^3+x^3+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\ge3\sqrt[3]{x^3.x^3.\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3}=\frac{3}{\sqrt{2}}x^2\)
Tương tự: \(y^3+y^3+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\ge\frac{3}{\sqrt{2}}y^2\)
\(\Rightarrow2x^3+2y^3+2.\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\ge\frac{3}{\sqrt{2}}\left(x^2+y^2\right)=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{2}{2\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Vế 2: \(x^3+y^3\le1\)
\(x^2+y^2=1\) \(\Rightarrow x\le1;y\le1\)\(\Rightarrow x^3\le x^2;y^3\le y^2\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0;y=1\) hoặc \(x=1;y=0\)
Cho x,y\(\ge\)0 thỏa mãn \(x^2+y^2\)=1. CMR:
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le x^3+y^3\le1\)
(Sử dụng Cauchy)
Mk muốn làm giúp bạn lắm chứ nhưng mà khổ lỗi mk mới học lớp 6 . Xin lỗi bn
bài 2 gợi ý từ hdt (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)
VT (ở đề bài) = a+b+c
<=>....<=>3[căn bậc 3(a)+căn bậc 3(b)].[căn bậc 3(b)+căn bậc 3(c)].[căn bậc 3(c)+căn bậc 3 (a)]=0
từ đây rút a=-b,b=-c,c=-a đến đây tự giải quyết đc r
Lời giải:
a)
Với \(x>1\Rightarrow x-1>0\). Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x=(x-1)+1\geq 2\sqrt{x-1}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-1}}{x}\leq \frac{\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra ki \(x-1=1\Leftrightarrow x=2\)
b) Trước tiên, ta có bđt phụ sau:
\(x^3+y^3\geq xy(x+y)\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2(x+y)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(x,y>1\) )
Do đó, \(\frac{x^3+y^3-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}\geq \frac{xy(x+y)-x^2-y^2}{(x-1)(y-1)}\geq 8\)
\(\Leftrightarrow xy(x+y)-(x^2+y^2)\geq 8(x-1)(y-1)\)
\(\Leftrightarrow x^2(y-1)+y^2(x-1)-8(x-1)(y-1)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)[x^2-4(x-1)]+(x-1)[y^2-4(y-1)]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)(x-2)^2+(x-1)(y-2)^2\geq 0\)
(luôn đúng với mọi \(x,y>1\) )
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)
vì trong 3 số x,y,z có ít nhất là 2 số cùng dấu
giả sử \(x,y\le0\)\(\Rightarrow z=-\left(x+y\right)\ge0\)
Mà \(-1\le x,y,z\le1\)nên \(x^2\le\left|x\right|;y^4\le\left|y\right|;z^6\le\left|z\right|\)
\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|=-x-y+z=-\left(x+y\right)+z=2z\le2\)
Dấu " = " xảy ra chẳng hạn x = 0 ; y = -1; z = 1