VD
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ND
1 tháng 4 2018
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\right)\ge6\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{2y^2}{x^2}+8\ge\dfrac{6x}{y}+\dfrac{6y}{x}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{y^2}+2+\dfrac{y^2}{x^2}\right)-4\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+4+\dfrac{x^2}{y^2}-2.\dfrac{x}{y}+1+\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-4.\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+4+\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)^2+\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2\ge0^{\left(1\right)}\)
\(^{\left(1\right)}\)đúng \(\Rightarrowđpcm\)
1 tháng 4 2018
Áp dụng BĐT : x4 + y4 ≥ 2x2y2
=> \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2 ( x , y > 0 )
TT , \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2 ( x , y > 0 )
Ta có : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) + 4 ≥ 6 ( 1 )
\(3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\) ≥ 6 ( 2 )
Từ ( 1 ; 2) => đpcm
MS
2
HN
10 tháng 4 2017
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{2y^2}{x^2}+8\ge6\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{y^2}+2+\dfrac{y^2}{x^2}\right)-4\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+4+\left(\dfrac{x^2}{y^2}-2.\dfrac{x}{y}+1\right)+\left(\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}+1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)^2+\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2\ge0\) (đúng)
2 tháng 10 2017
cách khác
đặt \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)
\(\Leftrightarrow t^2-3t+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\)
điều này luôn đúng với mọi |t| >=2 => dpcm
kết luận điều kiện đề hơi thừa
cái cần c/m đúng với mọi x,y khác 0
N
11 tháng 10 2019
Dat \(A=\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}-\frac{xy}{x^2-y^2}+\frac{x+y}{2\left(x-y\right)}\)
\(=\frac{2x^4+2y^4-2xy\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}{2x^4-2y^4}\)
\(=\frac{2x^4+2y^4+\left(x^2+y^2\right)\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]}{2x^4-2y^4}\)
\(=\frac{2x^4+2y^4+\left(x^2+y^2\right)^2}{2x^4-2y^4}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{2x^4+x^4}{2x^4}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P=2017A\ge2017.\frac{3}{2}=\frac{6051}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(y=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 3 2019
1/ Với số dương ta luôn có \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) (Cauchy hoặc quy đồng chuyển vế sẽ chứng minh được dễ dàng). Ta cần chứng minh:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\) (1)
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\ge2\) thì (1) trở thành:
\(a^2+2\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\) (2)
Do \(a\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1>0\\a-2\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng, vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
2/ \(B=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+12\left(x^2-2x\right)+3\left(y^2+6y\right)+2045\)
\(B=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y+12\right)+3\left(y^2-6y+12\right)-36+2045\)
\(B=\left(x^2-2x+3\right)\left(y^2+6y+12\right)+2009\)
\(B=\left[\left(x-1\right)^2+2\right]\left[\left(y+3\right)^2+3\right]+2009\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+2\ge2\\\left(y+3\right)^2+3\ge3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow B\ge2.3+2009=2015\)
\(\Rightarrow B_{min}=2015\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-3\end{matrix}\right.\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2017
Lời giải:
a)
Với \(x>1\Rightarrow x-1>0\). Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x=(x-1)+1\geq 2\sqrt{x-1}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-1}}{x}\leq \frac{\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra ki \(x-1=1\Leftrightarrow x=2\)
b) Trước tiên, ta có bđt phụ sau:
\(x^3+y^3\geq xy(x+y)\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2(x+y)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(x,y>1\) )
Do đó, \(\frac{x^3+y^3-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}\geq \frac{xy(x+y)-x^2-y^2}{(x-1)(y-1)}\geq 8\)
\(\Leftrightarrow xy(x+y)-(x^2+y^2)\geq 8(x-1)(y-1)\)
\(\Leftrightarrow x^2(y-1)+y^2(x-1)-8(x-1)(y-1)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)[x^2-4(x-1)]+(x-1)[y^2-4(y-1)]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)(x-2)^2+(x-1)(y-2)^2\geq 0\)
(luôn đúng với mọi \(x,y>1\) )
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)
TD
13 tháng 6 2017
Ta có: \(\left(x+z\right)\left(y+z\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(x+z\right)^2\left(y+z\right)^2=1\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z+x\right)^2}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x+z\right)^2\left(y+z\right)^2}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{\left(x+z\right)^2\left(y+z\right)^2}{\left(z+x\right)^2}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\left(x+z\right)^2+\left(y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\left(x+z\right)^2-2\left(x+z\right)\left(y+z\right)+\left(y+z\right)^2+2\) (Vì: (x+z)(y+z)=1 =>2(x+z)(y+z)=2 )
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\left(x+z-y-z\right)^2+2\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\left(x-y\right)^2+2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\left(x-y\right)^2\ge2\sqrt{\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}\cdot\left(x-y\right)^2}=2\cdot1=2\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\left(x-y\right)^2+2\ge2+2=4\)
Vậy \(MinP=4\) khi \(x-y=1\); \(y+z=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\); \(x+z=\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}\)
HP
1
ML
10 tháng 7 2015
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\ge xy+yz+zx+2\left(xy+yz+zx\right)=3\left(xy+yz+zx\right)\)
Áp dụng Côsi:
\(xy+zx\ge2\sqrt{xy.zx}=2x\sqrt{yz}\)
Tương tự: \(xy+yz\ge2y\sqrt{zx};\text{ }yz+zx\ge2z\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)\ge2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)
G
27 tháng 3 2019
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4+4x^2y^2}{x^2y^2}\ge\frac{3x^3y+3y^3x}{x^2y^2}\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+4x^2y^2-3x^3y-3xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2xy+y^2\right)+y^2\left(x^2-2xy+y^2\right)-x^3y-xy^3+2x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)-xy\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrowđpcm."="\Leftrightarrow x=y\)
x>y\(\ge\)0=>x-y>0 y+1>0
Đặt A=\(x+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}=\left(x-y\right)+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}+\left(y+1\right)-1\)
Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số dương ta có:
\(\left(x-y\right)+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right)4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}}=\dfrac{4}{y+1}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: (x-y)2(y+1)2=4
<=>(x-y)(y+1)=2(do là các số dương)
=>A\(\ge\dfrac{4}{y+1}+\left(y+1\right)-1\)
Áp dụng cô-si tiếp ta được:
\(\dfrac{4}{y+1}+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4}{y+1}\left(y+1\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (y+1)2=4 <=>y+1=2<=>y=1
=>A\(\ge4-1=3\)
Dấu "=" xảy ra khi (x-y)(y+1)=2 và y=1
<=>x=2 y=1
AM-GM chọn điểm rơi thôi . Có gì hay âu . Nếu hóc búa thì thấy Cô-sy ngược dâu khó nhất