Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(P=\frac{x^4+x^3+x+1}{x^4-x^3+2x^2-x+1}=\frac{x^3\left(x+1\right)+\left(x+1\right)}{x^4-x^3+x^2+x^2-x+1}=\frac{\left(x^3+1\right)\left(x+1\right)}{x^2\left(x^2-x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)}\)
\(=\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(x+1\right)^2\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)
Vì \(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge1>0\\x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\end{cases}}\)
Nên mẫu số luôn luôn khác 0
Do đó: \(P=\frac{\left(x+1\right)^2\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\\x^2+1>0\end{cases}\left(\forall x\right)}\) nên \(P\ge0\left(\forall x\right)\)
\(P=\frac{x^4+x^2+x+1}{x^4-x^2+2x^2-x+1}=\frac{\left(x+1\right)^2\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)
Do \(\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)\ne0\)do đó không cần điều kiện của x
Vậy \(P=\frac{\left(x+1\right)^2\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\\x^2+1>0\forall x\end{cases}\Rightarrow P\ge0\forall x}\)
\(x^4+x^3+x+1=x^3\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\left(x^3+1\right)=\left(x+1\right)^2\left(x^2-x+1\right)\)
\(x^4-x^3+2x^2-x+1=\left(x^4-x^3+x^2\right)+\left(x^2-x+1\right)=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+1\right)\)
Ta có: \(\left(x+1\right)^2\ge0;\forall x\)
\(x^2+1>1\); \(\forall x\)
\(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0,\forall x\)
Vậy \(\frac{x^4+x^3+x+1}{x^4-x^3+2x^2-x+1}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\ge0;\forall x\)
a) Để giá trị biểu thức 5 – 2x là số dương
<=> 5 – 2x > 0
<=> -2x > -5 ( Chuyển vế và đổi dấu hạng tử 5 )
\(\Leftrightarrow x< \frac{5}{2}\)( Chia cả 2 vế cho -2 < 0 ; BPT đổi chiều )
Vậy : \(x< \frac{5}{2}\)
b) Để giá trị của biểu thức x + 3 nhỏ hơn giá trị biểu thức 4x - 5 thì:
x + 3 < 4x – 5
<=< x – 4x < -3 – 5 ( chuyển vế và đổi dấu các hạng tử 4x và 3 )
<=> -3x < -8
\(\Leftrightarrow x>\frac{8}{3}\)( Chia cả hai vế cho -3 < 0, BPT đổi chiều).
Vậy : \(x>\frac{8}{3}\)
c) Để giá trị của biểu thức 2x +1 không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3 thì:
2x + 1 ≥ x + 3
<=> 2x – x ≥ 3 – 1 (chuyển vế và đổi dấu các hạng tử 1 và x).
<=> x ≥ 2.
Vậy x ≥ 2.
d) Để giá trị của biểu thức x2 + 1 không lớn hơn giá trị của biểu thức (x - 2)2 thì:
x2 + 1 ≤ (x – 2)2
<=> x2 + 1 ≤ x2 – 4x + 4
<=> x2 – x2 + 4x ≤ 4 – 1 ( chuyển vế và đổi dấu hạng tử 1; x2 và – 4x).
<=> 4x ≤ 3
\(\Leftrightarrow x\le\frac{3}{4}\)( Chia cả 2 vế cho 4 > 0 )
Vậy : \(x\le\frac{3}{4}\)
\(\left[\frac{x+1}{2x-2}+\frac{3}{x^2-1}-\frac{x+3}{2x+2}\right].\frac{4x^2-4}{5}\) \(ĐKXĐ:x\ne\pm1;\)
\(=\)\(\left[\frac{x+1}{2\left(x-1\right)}+\frac{3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{x+3}{2\left(x+1\right)}\right].\frac{4\left(x^2-1\right)}{5}\)
\(=\left[\frac{\left(x+1\right)^2}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{6}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right]\)\(.\frac{4\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5}\)
\(=\left[\frac{x^2+2x+1+6-\left(x^2+2x-3\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right].\frac{4\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5}\)
\(=\frac{10}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{4\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5}\)
\(=4\)