Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1 bạn viết rõ yêu cầu của đề ra nhé , mình làm bài 2.
\(a.\left(a-b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2+2ab-b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=0\)
\(\Leftrightarrow a=-b\left(đpcm\right)\)
\(b.a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
\(c.\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3ab+3bc+3ac-2ab-2bc-2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\) ( Kết quả câu b)
* Đặt tên các biểu thức theo thứ tự là A,B,C,D,E.
Câu a)
Theo hằng đẳng thức đáng nhớ ta có:
\(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(=(a+b+c)^3-3[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc]\)
\(=(a+b+c)^3-3[ab(a+b+c)+bc(b+c+a)+ca(c+a+b)-abc]\)
\(=(a+b+c)^3-3[(a+b+c)(ab+bc+ac)]+3abc\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)^3-3(ab+bc+ac)(a+b+c)\)
\(=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)]\)
\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\) (*)
Do đó:
\(A=\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}=a+b+c\)
Câu b)
\(x^3-y^3+z^3+3xyz=x^3+(-y)^3+z^3-3x(-y)z\)
Sử dụng kết quả (*) của câu a. Với \(a=x, b=-y, c=z\)
\(\Rightarrow x^3+(-y)^3+z^3-3x(-y)z=(x-y+z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)\)
Mặt khác xét mẫu số:
\((x+y)^2+(y+z)^2+(x-z)^2=x^2+2xy+y^2+y^2+2yz+z^2+x^2-2xz+z^2\)
\(=2(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)\)
Do đó: \(B=\frac{(x-y+z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)}=\frac{x-y+z}{2}\)
Câu c) Sử dụng kết quả (*) của phần a:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\)
Và mẫu số:
\((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\)
Do đó: \(C=\frac{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)}{2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Câu d)
Xét tử số:
\(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\)
\(=a^2(b-c)-b^2[(b-c)+(a-b)]+c^2(a-b)\)
\(=(b-c)(a^2-b^2)-(b^2-c^2)(a-b)\)
\(=(b-c)(a-b)(a+b)-(b-c)(b+c)(a-b)\)
\(=(a-b)(b-c)[a+b-(b+c)]=(a-b)(b-c)(a-c)\) (1)
Xét mẫu số:
\(a^4(b^2-c^2)+b^4(c^2-a^2)+c^4(a^2-b^2)\)
\(=a^4(b^2-c^2)-b^4[(b^2-c^2)+(a^2-b^2)]+c^4(a^2-b^2)\)
\(=(a^4-b^4)(b^2-c^2)-(b^4-c^4)(a^2-b^2)\)
\(=(a^2-b^2)(a^2+b^2)(b^2-c^2)-(b^2-c^2)(b^2+c^2)(a^2-b^2)\)
\(=(a^2-b^2)(b^2-c^2)[a^2+b^2-(b^2+c^2)]\)
\(=(a^2-b^2)(b^2-c^2)(a^2-c^2)\)
\(=(a-b)(b-c)(a-c)(a+b)(b+c)(c+a)\)(2)
Từ (1)(2) suy ra \(D=\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Câu e)
Theo phần d ta có:
\(TS=(a-b)(b-c)(a-c)\)
\(MS=ab^2-ac^2-b^3+bc^2\)
\(=b^2(a-b)-c^2(a-b)=(a-b)(b^2-c^2)=(a-b)(b-c)(b+c)\)
Do đó: \(E=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a-b)(b-c)(b+c)}=\frac{a-c}{b+c}\)
Có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=4\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2-4a^2-4b^2-4c^2+4ab+4ac+4bc=0\)
\(\Rightarrow-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2ac+2bc=0\)
\(\Rightarrow-\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(b^2-2bc+c^2\right)-\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)
\(\Rightarrow-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(a-c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(a-c\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 4(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
\(\Leftrightarrow\) a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ac + a2 = 4(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
\(\Leftrightarrow\) 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 4(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
\(\Leftrightarrow\) 2(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 4(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
\(\Leftrightarrow\) a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 2(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
\(\Leftrightarrow\) 0 = 2(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) - (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
\(\Leftrightarrow\) a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 0
\(\Leftrightarrow\) 2(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 0
\(\Leftrightarrow\) 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
\(\Leftrightarrow\) (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ac + a2) = 0
\(\Leftrightarrow\) (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a=c\\c=a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\)a = b = c