Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
b/ \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^4}+\frac{3}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{1+b^4}+\frac{3}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\frac{1}{1+c^4}+\frac{3}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+a^3c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau: Nếu \(a,b\ge1\)thì \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+\sqrt{ab}}\right)+\left(\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+\sqrt{ab}}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)}{\left(1+a\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}+\frac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(1+b\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{b}\left(1+a\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-\sqrt{a}\left(1+b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{ab}-1\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}\ge0\)*đúng do \(\sqrt{ab}\ge1\)(vì a,b\(\ge1\))*
Áp dụng bổ đề trên, ta được: \(\left(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}\right)+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
Tương tự: \(\left(\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}\right)+\frac{2}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\left(\frac{1}{1+c^4}+\frac{1}{1+a^4}\right)+\frac{2}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+ca^3}\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}\ge\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)(đpcm)
Lời giải:
Ta nhớ đến 1 BĐT quen thuộc:
Với $x,y$ là số thực thỏa mãn $x,y\geq 1$ thì $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}$
(Việc chứng minh BĐT trên có thể dựa vào biến đổi tương đương)
-------------------------------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\(\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}\geq \frac{2}{\sqrt{a^3b^3}+1}(1)\)
\(\frac{1}{c^3+1}+\frac{1}{abc+1}\geq \frac{2}{\sqrt[2]{c^4ab}+1}(2)\)
\(\frac{1}{\sqrt{a^3b^3}+1}+\frac{1}{\sqrt{c^4ab}+1}=\frac{1}{[(ab)^{\frac{3}{4}}]^2+1}+\frac{1}{[c(ab)^{\frac{1}{4}})]^2+1}\geq \frac{2}{(ab)^{\frac{3}{4}}.c(ab)^{\frac{1}{4}}+1}=\frac{2}{abc+1}(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}+\frac{1}{abc+1}\geq \frac{4}{abc+1}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{abc+1}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
Vì \(a\ge b\ge c\ge1\) ta có bổ đề
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
Lợi dụng cái trên ta được
\(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\)
\(\ge\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{abc^4}}\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{a^4b^4c^4}}=\frac{4}{1+abc}\)
PS: Đề sai nên t sửa luôn đề rồi nhé
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\)