NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
2 tháng 8 2017
Theeo BĐT AM-GM ta có:
\(\sum\dfrac{a^3b}{a^4+a^2b^2+b^4}\le\sum\dfrac{a^3b}{2a^3b+b^4}=\sum\dfrac{a^3}{2a^3+b^3}\)
Ta cần chứng minh \(\sum\dfrac{a^3}{2a^3+b^3}\le1\)
hay \(\sum\dfrac{a^3}{a^3+2c^3}\ge1\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz có:
\(\sum\dfrac{a^3}{2c^3+a^3}\ge\dfrac{\left(\sum a^3\right)^2}{\sum a^6+2\sum a^3b^3}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 2 2020
Áp dụng BĐT \(x^3+y^3+z^3\ge3xy\Leftrightarrow xyz\le\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\)
\(1.1.\sqrt[3]{a+3b}\le\frac{1+1+a+3b}{3}=\frac{a+3b+2}{3}\)
Tương tự: \(\sqrt[3]{b+3c}\le\frac{b+3c+2}{3}\); \(\sqrt[3]{c+3a}\le\frac{c+3a+2}{3}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{4\left(a+b+c\right)+6}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)
13 tháng 8 2019
Ta có: \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}=\frac{3a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{2a^3}{ab+3a^2}\)
\(=a-\frac{a^2b+b^3}{ab+3a^2}+\frac{2a^3}{ab+3a^2}\)
= \(a-\frac{b\left(a^2+b^2\right)}{a\left(b+3a\right)}+\frac{2a^3}{a\left(b+3a\right)}\) (1)
Áp dụng BĐT AM - GM ( x2 + y2 \(\ge2xy\)) ta có:
(1) \(\le a-\frac{2ab^2}{a\left(b+3a\right)}+\frac{2a^2}{b+3a}\) = \(a-\frac{2b^2}{b+3a}+\frac{2a^2}{b+3a}\) (2)
Tương tự ta cũng có:
\(\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\le b-\frac{2c^2}{c+3b}+\frac{2b^2}{c+3b}\left(3\right)\)
\(\frac{5c^3-a^2}{ca+3c^2}\)\(\le c-\frac{2a^2}{a+3c}+\frac{2c^2}{a+3c}\)(4)
Từ (2), (3), (4) \(\Rightarrow\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le a+b+c+\left(\frac{2a^2}{a+3c}-\frac{2a^2}{a+3c}\right)+\left(\frac{2b^2}{b+3c}-\frac{2b^2}{b+3c}\right)+\left(\frac{2c^2}{c+3a}-\frac{2c^2}{c+3a}\right)=a+b+c\le2018\)
Vậy \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le2018\)
TN
16 tháng 8 2019
A=\(\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\)
=>\(\frac{3}{2}\)-A=\(\frac{1}{2}-\frac{a}{3a+b+c}+\frac{1}{2}-\frac{b}{3b+a+c}+\frac{1}{2}-\frac{c}{3c+a+b}\)
<=>\(\frac{3}{2}\)-A=\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{6a+2b+2c}+\frac{1}{6b+2a+2c}+\frac{1}{6c+2a+2b}\right)\)
ta lại có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{6a+2b+2c}+\frac{1}{6b+2a+2c}+\frac{1}{6c+2a+2b}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{6a+2b+2c+6b+2a+2c+6c+2a+2b}\right)=\frac{9}{10}\)<=>\(\frac{3}{2}-\)A\(\ge\frac{9}{10}\)<=>A\(\le\frac{3}{2}-\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\)
dấu "=" xảy ra <=>a=b=c
D
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Holder:
\((a^7+b^7+c^7)(a+b+c)(a+b+c)\geq (a^3+b^3+c^3)^3\)
\(\Rightarrow P=a^7+b^7+c^7\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^3}{(a+b+c)^2}\) \((1)\)
Tiếp tục Holder:
\((a^3+b^3+c^3)(1+1+1)(1+1+1)\geq (a+b+c)^3\)
\(\Rightarrow (a+b+c)\leq \sqrt[3]{9(a^3+b^3+c^3)}\) \((2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow P\geq \frac{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)^7}}{\sqrt[3]{81}}\) \((3)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((a^3+b^3+c^3)^2\geq 3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)\geq 3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \sqrt{3}\) \((4)\)
Từ \((3),(4)\Rightarrow P\geq \sqrt[6]{\frac{1}{3}}\)
Vậy \(P_{\min}=\sqrt[6]{\frac{1}{3}}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt[6]{\frac{1}{3}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2017
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^3+\sqrt{\frac{1}{27}}+\sqrt{\frac{1}{27}}\geq 3\sqrt[3]{a^3.\sqrt{\frac{1}{27^2}}}=a\)
\(b^3+\sqrt{\frac{1}{27}}+\sqrt{\frac{1}{27}}\geq 3\sqrt[3]{b^3.\sqrt{\frac{1}{27^2}}}=b\)
\(c^3+\sqrt{\frac{1}{27}}+\sqrt{\frac{1}{27}}\geq 3\sqrt[3]{c^3.\sqrt{\frac{1}{27^2}}}=c\)
Cộng theo vế:
\(a^3+b^3+c^3+6\sqrt{\frac{1}{27}}\geq a+b+c\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)=3\Rightarrow a+b+c\geq \sqrt{3}\)
Do đó, \(a^3+b^3+c^3\geq \sqrt{3}-6\sqrt{\frac{1}{27}}=\sqrt{\frac{1}{3}}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}\)