Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử không tồn tại 3 chữ số nào trong $p^n$ giống nhau.
Đặt \(p^n=\overline{a_1a_2...a_{20}}\)
Vì \(0\leq a_1,a_2,...,a_{20}\leq 9\) nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \(\left[ \frac{20}{10}\right]=2\) số giống nhau.
Kết hợp với điều đã giả sử suy ra $p^n$ là một số gồm $20$ chữ số, trong đó luôn có đôi một hai số bằng nhau và bằng các số trải từ $0$ đến $9$
Khi đó: \(S(p^n)=2(0+1+2+..+9)=90\vdots 3\) trong đó \(S(p^n)\) là tổng các chữ số của $p^n$
Vì \(S(p^n)\vdots 3\Rightarrow p^n\vdots 3\). Điều này hoàn toàn vô lý do \(p>3, p\in\mathbb{P}\)
Do đó giả sử sai. Tức là tồn tại ít nhất 3 số trong 20 chữ số của $p^n$ giống nhau.
Giả sử trong 20 chữ số ko có 3 chữ số nào giống nhau
Mà các chữ số chạy từ 0-9
Suy ra ít nhất 1 chữ số xuất hiện 2 lần
\(\Rightarrow\)tổng các chữ số là \(2\left(0+1+2+3+...+8+9\right)=90⋮3\)
suy ra p ko là số ng/tố lớn hơn 3 (mâu thuẫn)
Vậy ĐPCM lun đúng
Chia 92 số tự nhiên này cho 91, theo nguyên lý Đi - ric- lê tồn tại có 2 số có cùng số dư . Gọi 2 số đó là :abc và mnp . Ta có:
abcmnp=1000.abc+mnp=1000(91k+r)+(91q+r)
=91(1000k+q)+1001r
=91(1000k+q)+91.11r chia hết cho 91
Sửa: p > 3
G/s không có ba chữ số nào giống nhau trong 20 số đó.
Vì các số chỉ có thể từ 0 -> 9 nên mỗi chữ số xuất hiện 2 lần
Khi đó tổng các chữ số là: 2(0 + 1 + ... + 9) = 2.45 = 90 chia hết cho 3
===> p chia hết cho 3 (vô lí)
Vậy ta có đpcm