Question

[Minh Triều]

Cho P(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d,với a,b,c,d là các hằng số. Tính P(12)+P(-8),biết P(1)=10,P(2)=20,P(3)=30.

Answer 1

[Trần Thị Loan]

+) Trước hết, ta tìm một đa thức H(x) = x³ + mx² + nx + p sao cho H(1) = 10; H(2) = 20; H(3) = 30

H(1) = 10 => 1 + m + n + p = 10 => m+ n + p = 9  => p = 9 - m - n   (1)

H(2) = 20 => 8 + 4m + 2n + p = 20 => 4m + 2n + p = 12   (2)

H(3) = 30 => 27 + 9m + 3n + p = 30 => 9m + 3n + p = 3    (3)

Thế (1) vào (2) và (3) ta được hệ 2 ẩn m; n :  3m + n = 3 và 8m + 2n = - 6 => m = -6; n = 21 => p = -6

Vậy H(x) = x³ -6x² + 21x - 6

+) Xét đa thức G(x) sao cho G(x) = P(x) - H(x) = x⁴+ax³+bx²+cx+d - ( x³ -6x² + 21x - 6) =  x⁴+(a-1)x³+ (b+6).x² + (c-21) x+(d+6)

G(x) = P(x) - H(x) => G(1) = P(1) -H(1) = 0 ; G(2) = G(3) =0 => 1;2;3; là các nghiệm của G(x)

Mà bậc của G(x) = 4 nên G(x) có nhiều nhất 4 nghiệm; giả sử đó là x_o

=> G(x) = (x - 1).(x -2).(x - 3).(x - x_o)

=> P(x) = H(x) + G(x) = x³ -6x² + 21x - 6 +  (x - 1).(x -2).(x - 3).(x - x_o)

=> P(12) = 1110 + 990.(12 - x_o)

P(-8) = -1070 - 990.(-8 - x_o) 

=> P(12) + P(-8) = 40 + 990.20 = 19 840

Vậy....

Answer 2

[Diệp Chi Phạm]

P(1)=1+a+b+c+d = 10 
P(2)=16+8a+4b+2c+d = 20 
P(3)=81+27a+9b+3c+d = 30 

P(12)=20736+1728a+144b+12c+d 
P(-8)=4096 - 512a + 64b - 8c + d 
=>P(12)+P(-8)=24832+1216a+208b+4c+2d (*) 

Ta lại có 
100P(1) - 198P(2) +100P(3) 
=100(1+a+b+c+d) - 198(16+8a+4b+2c+d) + 100(81+27a+9b+3c+d) 
=5032+1216a+208b+4c+2d 
Mặt khác: 
100P(1) - 198P(2) +100P(3) 
=100.10 - 198.20 + 100.30 
=40 
Suy ra 5032+1216a+208b+4c+2d=40 
<=>1216a+208b+4c+2d= -4492 Thay vào (*) ta có: 
P(12)+P(-8)=24832 - 4492=19840