Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(x_1^2+x_2^2=23\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=23\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=23\)
\(\Leftrightarrow5^2-2\left(m+4\right)=23\)
<=> m=-3
b) \(x_1^3+x_2^3=35\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=35\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=35\)
\(\Leftrightarrow5\left[5^2-3\left(m+4\right)\right]=35\)
<=> m=2
c) \(\left|x_2-x_1\right|=3\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|x_2-x_1\right|\right)^2=3^2\)
\(\Leftrightarrow x_1^2-2x_1x_2+x_1^2=3^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\)
<=> m=0
ĐK để pt có hai nghiệm phân biệt là: \(\Delta>0\Leftrightarrow25-4\left(m+4\right)>0\Leftrightarrow m< \frac{9}{4}\) ( @@)
Gọi \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình
Theo định lí Viet ta có: \(x_1+x_2=5;x_1.x_2=m+4\)
a) \(x_1^2+x_2^2=23\)
<=> \(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=23+2x_1x_2\)
<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2=23+2x_1x_2\)
=> \(25=23+2\left(m+4\right)\)
<=>m = -3 ( thỏa mãn @@)
b) \(x_1^3+x_2^3=35\)
<=> \(\left(x_1+x_2\right)^3-3\left(x_1+x_2\right)x_1x_2=35\)
=> \(5^3-3.5.\left(m+4\right)=35\)
<=> m = 2 ( thỏa mãn @@)
c) \(\left|x_2-x_1\right|=3\)
<=> \(\left(x_1-x_2\right)^2=9\)
<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\)
=> \(5^2-4\left(m+4\right)=9\)
<=> m = 0 ( thỏa mãn @@)
a) \(x^3-5x^2+\left(2m+5\right)x-4m+2=0\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-3x+2m-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x^2-3x+2m-1=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
Điều kiện là: \(\hept{\begin{cases}\Delta>0\\4-6+2m-1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}13-8m>0\\2m\ne3\end{cases}\Leftrightarrow\frac{3}{2}\ne}m< \frac{13}{8}}\)
b) Ta có 3 nghiệm của phương trình (1) là x1=2;x2;x3 trong đó x2;x3 là 2 nghiệm của phương trình (2)
Khi đó \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=11\Leftrightarrow4+\left(x_2+x_3\right)^2-2x_2x_3=11\Leftrightarrow\left(x_2+x_3\right)^2-2x_2x_3=7\left(3\right)\)
Áp dụng định lý Vi-ét đối với phương trình (2) ta có : \(\hept{\begin{cases}x_2+x_3=3\\x_2x_3=2m-1\end{cases}}\)
Vậy (3) \(\Leftrightarrow9-2\left(2m-1\right)=7\Leftrightarrow m=1\left(TM\text{Đ}K\right)\)
Vậy m=1
Xét \(x^2-\left(2m+1\right)x-3=0\left(1\right)\)
PT (1) có a.c=\(1\cdot\left(-3\right)=-3< 0\)
=> PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu với mọi m
Mà \(x_1< x_2\left(gt\right)\)nên x1<0 và x2>0 => \(\hept{\begin{cases}\left|x_1\right|=-x_1\\\left|x_2\right|=x_2\end{cases}}\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có \(x_1+x_2=2m+1\)
Theo bài ra \(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=5\Rightarrow-x_1-x_2=5\Leftrightarrow x_1+x_2=-5\Leftrightarrow2m+1=-5\Leftrightarrow m=-3\)
Lời giải:
Ta có: \(x^3-m(x+2)+8=0\)
\(\Leftrightarrow (x^3+8)-m(x+2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)(x^2-2x+4)-m(x+2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)(x^2-2x+4-m)=0\)
Dễ thấy PT có nghiệm \(x=-2\)
Do đó để có 3 nghiệm pb thì \(x^2-2x+4-m=0\) phải có hai nghiệm phân biệt khác $-2$
Điều này xảy ra khi mà:
\(\left\{\begin{matrix} (-2)^2-2(-2)+4-m\neq 0\\ \Delta'=1-(4-m)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12-m\neq 0\\ m-3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m> 3; m\neq 12\)
b)
Nghiệm thứ nhất của PT là \(x_1=-2\)
Hai nghiệm còn lại $x_2,x_3$ được xác định theo hệ thức Viete như sau:
\(\left\{\begin{matrix} x_2+x_3=2\\ x_2x_3=4-m\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(x_1^3+x_2^3+x_3^3=-8+(x_2+x_3)^3-3x_2x_3(x_2+x_3)\)
\(=-8+8-3(4-m).2=6(m-4)\)
Và: \(3x_1x_2x_3=3(-2)(4-m)=6(m-4)\)
Do đó \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=3x_1x_2x_3\) (đpcm)