Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow2m.2^x+\left(2m+1\right)\left(3-\sqrt{5}\right)^x+\left(3+\sqrt{5}\right)^x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x+\left(2m+1\right)\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x+2m< 0\)
Đặt \(t=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x,0< t\le1\Rightarrow\frac{1}{t}=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x\)
Phương trình trở thành :
\(t+\left(2m+1\right)\frac{1}{t}+2m=0\) (*)
a. Khi \(m=-\frac{1}{2}\) ta có \(t=1\) suy ra \(\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x=1\Leftrightarrow x=0\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=0\)
b. Phương trình (*) \(\Leftrightarrow t^2+1=-2m\left(t+1\right)\Leftrightarrow\frac{t^2+1}{t+1}=-2m\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^2+1}{t+1};t\in\)(0;1]
Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{t^2+2t+1}{\left(t+1\right)^2}\Rightarrow f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow=-1+\sqrt{2}\)
t f'(t) f(t) 0 1 0 - + 1 1 -1 + căn 2 2 căn 2 - 2
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm đúng
\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}-2\le-2m\le1\Leftrightarrow\sqrt{2}-1\ge m\ge-\frac{1}{2}\)
Vậy \(m\in\left[-\frac{1}{2};\sqrt{2}-1\right]\) là giá trị cần tìm
Bạn nên show toàn bộ lời giải để mọi người hiểu cách bạn làm hơn.
Lời giải:
$\Delta'=m^2-m+3>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi $m\in\mathbb{R}$.
Khi đó, với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt thì:
$x_1+x_2=2m$
$x_1x_2=m-3$
Để $x_1,x_2\in (1;+\infty)$ thì:
\(\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2>2\\
(x_1-1)(x_2-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_1+x_2>2\\
x_1x_2-(x_1+x_2)+1>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m>2\\ m-3-2m+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>1\\ m< -2\end{matrix}\right.\) (vô lý)
Do đó không tồn tại $m$ để pt có 2 nghiệm pb thuộc khoảng đã cho.