Question

[GratefulAardvark4970]

Cho p và p+2 cùng là số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng tổng 2 số đó chia hết cho 12

Answer 1

[《 ღ Ňɠʉүêŋ ➻ Ňɠʉүêŋ ღ 》]

+ Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng
- giả sử p + p + 2 không chia hết cho 12 <> p + 1 không chia hết cho 6
<> p = 6n hoạc p = 6n + 1 .... hoạc p = 6n + 4
- với p = 6n ( n >= 1) => p là hợp số mâu thuẫn
- với p = 6n + 1 ( n >= 1) => p + 2 = 6n + 3 = 3(2n + 1) là hợp số => mâu thuẫn
- ....
- với p = 6n + 4 ( n>= 0) => p cũng là hợp số
Vậy p + 1 phải chia hết cho 6 hay p + p + 2 phải chia hết cho 12

Answer 2

[๖²⁴ʱんuﾘ ｲú❄✎﹏]

Lời giải:

Gọi A=p+(p+2)=2p+2=2(p+1)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ , suy ra p+1 chẵn

⇒p+1⋮2⇒A=2(p+1)⋮4(∗)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3

Do đó p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2

Nếu p=3k+1⇒p+2=3k+3⋮3

mà p+2>3 nên p+2 không thể là số nguyên tố (trái với giả thiết) nên loại

Do đó p=3k+2

Khi đó: A=2(p+1)=2(3k+2+1)=2(3k+3)⋮3(∗∗)

Từ (∗);(∗∗)⇒A⋮(3.4=12)