Question

[Trương Thanh Long]

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R( R là một độ dài cho tr­ước). M,N là hai điểm nằm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng khoảng cách từ A,B đến MN bằng \(R\sqrt{3}\).

1/ Tính độ dài đoạn MN theo R.

2/ Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đường thẳng AM và BN là K. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,I,K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R.

3/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AKB theo R khi M,N thay đổi như­ng vẫn thoả mãn điều kiện của bài toán.

Answer 1

[ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★]

Gọi \(A',B'\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên MN, H là trung điểm của MN

\(\Rightarrow OH\perp MN\)

Xét hình thang \(AA'B'B\)có OH là đường trung bình nên:

\(OH=\frac{1}{2}\left(AA'+BB'\right)=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)

\(MH=\sqrt{OM^2-OH^2}=\sqrt{R^2-\frac{3R^2}{4}}=\frac{R}{2}\)

\(\Rightarrow MN=2MH=R\)

do đó : \(S_{AKB}=\frac{1}{2}.AB.KP=R.KP\le\sqrt{3}R^2\)

Dấu "=" xảy ra <=> MN//AB hay \(\Delta AKB\)đều

b) bạn tự cm đc chứ ??? :))))

Answer 2

[ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★]

b,Tứ giác KMIN nội tiếp trong đường tròn đường kính KI, gọi Q là tâm đường tròn --> Q trung điểm KI ,

Vì MN = R , \(\Delta MNO\) đều

=> góc MAN = 30 độ

Trong tg vuông AKN có \(\widehat{MAN}\) = 30⁰ => góc MKN = 60 độ -

=>góc MQN = 120 độ, vẽ QR vuông góc MN => R trung điểm MN => MR = R/2, trong tg MQR nửa đều

=> QR = MQ/2 và MR = R/2

=> MQ = \(R.\frac{\sqrt{3}}{3}\) --> Bán kính đường tròn = MQ =\(R.\frac{\sqrt{3}}{3}\)