Question

[Nguyễn Thị Hồng Diễm]

Cho m và n là hai số tự nhiên và p là một số nguyên tố thỏa mãn p/m-1=m+n/p

Chứng minh rằng p^2=n+2

Answer 1

[Minh Hiền Trần]

m và n là số tự nhiên => m , n ≥ 0 

p là số nguyên tố 

Thỏa mãn \(\frac{p}{m-1}=\frac{m+n}{p}\) <=> p² = ( m – 1 ).( m + n ) 

Do ( m – 1 ) và ( m + n ) là các ước nguyên dương của p²

Chú ý : m – 1< m + n (1) 

Do p là số nguyên tố nên p² chỉ có các ước nguyên dương là 1, p và p² (2) 

Từ (1) và (2) ta có m – 1 = 1 và m + n = p². Khi đó m = 2 và tất nhiên 2 + n = p²

Vậy p² = n + 2 (Đpcm).

Answer 2

[Hochocnuahocmai]

m và n là số tự nhiên => m , n ≥ 0 
p là số nguyên tố 
Thỏa mãn p/m−1 =m+n/p  <=> p² = ( m – 1 )( m + n ) 
Do ( m – 1 ) và ( m + n ) là các ước nguyên dương của p²
Chú ý : m – 1< m + n ( 1 ) 
Do p là số nguyên tố nên p² chỉ có các ước nguyên dương là 1, p và p² ( 2 ) 
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có m – 1 = 1 và m + n = p².
Khi đó m = 2 và tất nhiên 2 + n = p²
Do đó A = p² - n = 2