Question

[HUN PEK]

Cho hình vuông ABCD, trên AB lấy E, AD lấy F  sao cho AE=AF. Vẽ AH vuông góc với BF(H thuộc BF), AH cắt BC và DC tại N,M.

a. C/M ABMD là hcn

b.Biết S_BHC=4.S_AEH.. cmAC=2EF

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

A B C D E F H M N

a) Ta có : \(\widehat{DAM}=\widehat{ABF}\)( cùng phụ \(\widehat{BAH}\))

AB = AD ( gt )

\(\widehat{BAF}=\widehat{ADM}=90^o\)

\(\Rightarrow\Delta ADM=\Delta BAF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\)DM = AF = AE

mặt khác : AE // DM nên tứ giác ADME là hình bình hành có \(\widehat{DAE}=90^o\)nên là hình chữ nhật

b) \(\Delta ABH\approx\Delta FAH\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{AB}{AF}=\frac{BH}{AH}\)hay \(\frac{BC}{AE}=\frac{BH}{AH}\)

Lại có : \(\widehat{HAB}=\widehat{HBC}\)( cùng phụ \(\widehat{ABH}\))

\(\Rightarrow\Delta CBH\approx\Delta EAH\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{S_{CBH}}{S_{EAH}}=\left(\frac{BC}{AE}\right)^2\)

Mà \(\frac{S_{CBH}}{S_{EAH}}=4\)

\(\Rightarrow\left(\frac{BC}{AE}\right)^2=4\) \(\Rightarrow\)BC² = ( 2AE )²

\(\Rightarrow\)BC = 2AE nên E là trung điểm AB, F là trung điểm AD 

do đó : BD = 2EF hay AC = 2EF