Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Ta thấy:
\(DD'\perp D'C'\\DD'\perp D'A' \)\(\Rightarrow DD'\perp mp\left(A'B'C'D'\right)\)
b, Theo chứng minh phần a, ta có:
\(DD'\perp mp\left(A'B'C'D'\right)\)
Mà: \(DD'\in mp\left(CC'D'D\right)\) nên \(mp\left(CC'D'D\right)\perp mp\left(A'B'C'D'\right)\)
Lời giải:
$A=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2$
$=(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)$
$=[c^2-(a^2+b^2-2ab)][(a^2+b^2+2ab)-c^2]$
$=[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]$
$=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác thì $c-a+b; c+a-b; a+b-c>0$
Mặt khác $a+b+c>0$ với mọi $a,b,c>0$
Do đó $A>0$ (đpcm)
Bài1:
Xét tứ giác EDCB có
A là trung điểm chung của EC và DB
nên EDCB là hình bình hành
Suy ra: ED//BC và ED=BC
Xét ΔENA và ΔCMA có
góc EAN=góc CAM
AE=AC
góc AEN=góc ACM
Do đó: ΔENA=ΔCMA
=>EN=CM
a, Ta có : BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) = BĐT cauchuy .
-> Áp dụng BĐT cauchuy ta được :
\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\end{matrix}\right.\)
- Cộng 2 bpt lại ta được :
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right)\)
- Mà \(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\ge2abcd\)
=> \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2.2abcd=4abcd\)
b, CMTT câu 1 .
- Áp dụng BĐT cauchuy ta được :
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)
- Nhân 3 bpt trên lại ta được :
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2.2.2abc=8abc\)
Lời giải:
\(a^4+b^4+c^4< 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2< 0\)
\(\Leftrightarrow (a^4+b^4+2a^2b^2)-4a^2b^2+c^4-(2b^2c^2+2c^2a^2)< 0\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+c^4-4a^2b^2< 0\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2-c^2)^2-(2ab)^2< 0\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)< 0\)
\(\Leftrightarrow [(a-b)^2-c^2][(a+b)^2-c^2]< 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a+b+c)< 0\)
\(\Leftrightarrow (a+c-b)(b+c-a)(a+b-c)>0\)
Từ đây ta thấy có 2 TH xảy ra
TH1: cả 3 thừa số \(a+c-b, b+c-a, a+b-c\) đều dương
\(\Rightarrow a+b>c; b+c>a; c+a>b\) nên $a,b,c$ có thể là độ dài của $3$ cạnh tam giác
TH2: Trong 3 thừa số có một thừa số dương, 2 thừa số âm. Không mất tổng quát, giả sử:
\(\left\{\begin{matrix} a+c-b>0\\ b+c-a< 0\\ a+b-c< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow (b+c-a)+(a+b-c)< 0\)
\(\Rightarrow 2b< 0\Rightarrow b< 0\) (trái với đề bài- loại)
Vậy tồn tại tam giác có độ dài các cạnh là $a,b,c$
#)Giải :
a) \(ab-ac-b+c=a\left(b-c\right)-\left(b-c\right)=\left(a-1\right)\left(b-c\right)\)
b) \(5a^2-5=5\left(a^2-1\right)=5\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
c) \(x^2-2x+1-a^2-2ab-b^2=\left(x-1\right)^2-\left(a+b\right)^2\)
\(=\left(x-1-a-b\right)\left(x-1+a+b\right)\)
d) \(7x^2-14x+7=7\left(x^2-2x+1\right)=7\left(x-1\right)^2\)
e) \(81x^4+4=81x^4+36x^2+4-36x^2=\left(9x^2+6x+2\right)\left(9x^2-6x+2\right)\)
f) \(x^7+x^2+1=\left(x^7+x^6+x^5\right)-\left(x^6+x^5+x^4\right)+...+\left(x^2+x+1\right)\)
\(=x^5\left(x^2+x+1\right)-x^4\left(x^2+x+1\right)+...+\left(x^2+x+1\right)\)
\(=\left(x^5-x^4+x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\)
g) \(\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)+\left(b+c\right)\left(b^2-c^2\right)+\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(b+c\right)\left(a^2-b^2+c^2-a^2\right)+\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a+c\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
#)Giải :
b) Ta có :
\(\left[\left(a+b\right)+\left(c+d\right)\right]^2=\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)\left(c+d\right)+\left(c+d\right)^2\)
Áp dụng hằng đẳng thức tương tự với ba đa thức còn lại, ta được :
\(2\left(a+b\right)^2+2\left(a-b\right)^2+2\left(c+d\right)^2+2\left(c-d\right)^2\)
\(=2\left(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2+c^2+2cd+d^2+c^2-2cd+d^2\right)\)
\(=4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)