Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}\Rightarrow2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{ND}=2\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AD}\right)=-2\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{AD}\Rightarrow3\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AD}\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\)
Do K là trung điểm MN
\(\Rightarrow\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\)
Theo tính chất hbh: \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)
Do O là tâm hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
Mà H là trung điểm OC \(\Rightarrow\overrightarrow{OH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AH}\)
\(=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{ND}\)
=>A,N,D thẳng hàng và AN=2ND
ABCD là hình bình hành tâm O
=>O là trung điểm chung của AC và BD
H là trung điểm của OC
nên HO=HC=1/2CO
=>\(HO=HC=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot CA=\dfrac{1}{4}CA\)
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}\)
=>AM=MB và M nằm giữa A và B
=>M là trung điểm của AB
AN+ND=AD
=>2ND+ND=AD
=>AD=3ND
=>AN/AD=2/3
=>\(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\cdot\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MH}\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CH}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AM}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}\Rightarrow\overrightarrow{IA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
Lời giải:
Ta biết một vài tính chất của hình bình hành có tâm $O$:
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=0\)
a) Ta có:
\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{ID}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{IO}+4\overrightarrow{OD}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{IO}+4\overrightarrow{OD}\Leftrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{IO}+3\overrightarrow{OD}\)
\(\Leftrightarrow{DB}-3\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{IO}\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{DO}-3\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{IO}\)
\(\Leftrightarrow 5\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{IO}\)
Do đó điểm $I$ nằm trên đường thẳng $DO$ sao cho $IO=5DO$
b)
\(2\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{FB}=3\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{FD}\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{FO}+2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{FO}+2\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{FO}+3\overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{OD})\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{FO}+2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=0\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{FO}+5\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=0\)
Lấy điểm $I$ thỏa mãn \(5\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\)
\(\Rightarrow 2\overrightarrow{FO}+5\overrightarrow{OI}+5\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}=0\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{FO}+6\overrightarrow{OI}=0\Rightarrow \overrightarrow {OF}=3\overrightarrow {OI}\)
Điểm I thỏa mãn nằm trên đoạn $AB$ sao cho $5IA=IB$
Điểm F thỏa mãn nằm trên đường thẳng $OI$ sao cho $OF=3OI$ và I nằm giữa $OF$
c)
\(4\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}=0\)
\(\Leftrightarrow 4\overrightarrow{KO}+4\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{KO}+3\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{KO}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{KO}+\overrightarrow{OD}=0\)
\(\Leftrightarrow 10\overrightarrow{KO}+2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=0\)
\(\Leftrightarrow 5\overrightarrow{KO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=0\)
Lấy $I$ là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\)
\(\Rightarrow 0=5\overrightarrow{KO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{KO}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}\)
\(\Leftrightarrow 0=5\overrightarrow{KO}+2\overrightarrow{OI}\Leftrightarrow 5\overrightarrow{OK}=2\overrightarrow{OI}\)
Do đó điểm K nằm trên đoạn thẳng OI sao cho $5OK=2OI$
Bài 1:
Gọi M là trung điểm của AD
\(BM=\sqrt{AB^2+AM^2}=\sqrt{4a^2+\dfrac{1}{4}a^2}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}a\)
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}\right|=2\cdot BM=\sqrt{17}a\)
