Question

[Rosemary]

Cho hàm số y= -1/3x³+1/2(m-2)x²+(m-2)x +3. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số nguyên dương của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1/2;+vô cùng). Sô phần tử cả S là : ??

Hãy dạy em biết cách giải dạng bài tập này với ạ? Love you.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(y'=-x^2+\left(m-2\right)x+m-2\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi \(y'\le0\) ; \(\forall x>-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow-x^2+\left(m-2\right)x+m-2\le0\) ; \(\forall x>-\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow m\left(x+1\right)\le x^2+2x+2\) ; \(\forall x>-\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow m\le\frac{x^2+2x+2}{x+1}\) ; \(\forall x>-\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow m\le\min\limits_{x>-\frac{1}{3}}\frac{x^2+2x+2}{x+1}\)

Xét trên \(x>-\frac{1}{3}\) ta có: \(\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{\left(x+1\right)^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}\ge2\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}=2\)

\(\Rightarrow m\le2\)