Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có \(\left(1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k-1}\right)^2\)
= \(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}\)\(+\frac{2}{k-1}-\frac{2}{k}-\frac{2}{k\left(k-1\right)}\)
=\(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}+\frac{2k-2k+2-2}{k\left(k-1\right)}\)
= \(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}\)
=> \(\sqrt{1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}}\)= \(1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\)(đpcm)
Ta có △=\(b^2-4ac>0\Leftrightarrow\left[-2\left(k-1\right)\right]^2-4.1.\left(-4k\right)>0\Leftrightarrow4k^2-8k+4+16k^2>0\Leftrightarrow20k^2-8k+4>0\Leftrightarrow5k^2-2K+1>0\)(luôn đúng)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi k\(\in R\)
Theo định lí Vi-ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2k-2}{1}=2k-2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4k}{1}=-4k\end{matrix}\right.\)
Mà ta có\(3x_1-x_2=2\Leftrightarrow3x_1+3x_2-4x_2=2\Leftrightarrow3\left(x_1+x_2\right)-4x_2=2\Leftrightarrow3\left(2k-2\right)-4x_2=2\Leftrightarrow6k-6-2=4x_2\Leftrightarrow6k-8=4x_2\Leftrightarrow x_2=\frac{3k-4}{2}\)
\(\Rightarrow x_1=2k-2-\frac{3k-4}{2}=\frac{4k-4-3k+4}{2}=\frac{k}{2}\)
Vậy \(x_1x_2=-4k\Leftrightarrow\frac{k}{2}.\frac{3k-4}{2}=-4k\Leftrightarrow3k^2-4k=-16k\Leftrightarrow3k^2+12k=0\Leftrightarrow k\left(k+4\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}k=0\\k=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy k=0 hoặc k=-4 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(3x_1-x_2=2\)
\(\Delta=\left(2k-1\right)^2+4\left(4k+3\right)=4k^2+12k+13=4\left(k+\frac{3}{2}\right)^2+4>0\) \(\forall k\)
\(\Rightarrow\) pt luôn luôn có nghiệm
b/ \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2k-1\\x_1x_2=-4k-3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\frac{x_1+x_2+1}{2}\\k=\frac{-3-x_1x_2}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{x_1+x_2+1}{2}=\frac{-3-x_1x_2}{4}\)
Đây là biểu thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc k (bạn có thể rút gọn thêm)
c/ \(P=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(P=\left(2k-1\right)^2+2\left(4k+3\right)=4k^2+4k+7\)
\(P=\left(2k+1\right)^2+6\ge6\)
\(\Rightarrow P_{min}=6\) khi \(k=-\frac{1}{2}\)
3) \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1\)
\(\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\left(a+b+c\right)=a+b+c\)
\(\dfrac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b^2+b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)
\(\dfrac{a^2}{b+c}+a+\dfrac{b^2}{a+c}+b+\dfrac{c^2}{a+b}+c=a+b+c\)
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0\)
Vậy: \(P=0\)
