Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/tacó: góc DMC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính DC
=> góc DMC =90o
tứ giác CKFM có: \(\widehat{CKF}+\widehat{CMF}=180^o\)
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=> tứ giác CKFM nội tiếp đường tròn (đpcm)
b/theo phần a ta có: tứ giác CKFM nội tiếp đường tròn
=> \(\widehat{KCM}+\widehat{KFM}=180^o\)\(\Rightarrow\widehat{KCM}=180^o-\widehat{KFM}\left(1\right)\)
Ta lại có :\(\widehat{DFK}+\widehat{KFM}=180^o\) (2 góc kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{DFK}=180^o-\widehat{KFM}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat{DFK}=\widehat{KCM}\)
xét tam giác DFK và tam giác KCE có:
\(\widehat{DFK}=\widehat{KCE}\left(cmt\right)\)
\(\widehat{DKF}=\widehat{ÈKC}\left(=90^o\right)\)
\(\Rightarrow\Delta DKF~\Delta EKC\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{KD}{KE}=\frac{KE}{KC}\Rightarrow KD.KC=KE.KF\left(đpcm\right)\)
c/ta có: \(\widehat{DMI}=\widehat{DCM}\)(vì cùng chắn cung DM nhỏ)
mà \(\widehat{DCM}=\widehat{DFK}\) (theo phần a)
do đó : \(\widehat{DMI}=\widehat{DFK}\) mà \(\widehat{DFK}=\widehat{IFM}\)(2 góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{IF̀M}=\widehat{FMI}\)
\(\Rightarrow\Delta IFM\) cân tại I
=> IF=IM(*)
\(\Delta EFM\) vuông tại M (vì MI là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại tiếp điểm M )có : \(\widehat{FEM}+\widehat{EFM}=90^o\left(3\right)\)
\(\widehat{FMI}+\widehat{IME}=90^o\)(4)
từ (3) và (4) ta có: \(\widehat{IEM}=\widehat{IME}\) (vì \(\widehat{EFM}=\widehat{FMI}\))
=> tam giác IME cân tại I
\(\Rightarrow IE=IM\)(2*)
Từ (*) và (2*) ta có: IF=IE(đpcm)
a: Xét tứ giác CKFM có góc CKF+góc CMF=180 độ
nên CKFM là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔDAF và ΔDMA có
góc DAF=góc DMA
góc ADF chung
Do đó: ΔDAF đồng dạng với ΔDMA
=>DA/DM=DF/DA
hay DA^2=DM*DF
Xét (O):
CD là đường kính (gt).
\(M\in\left(O\right)\left(gt\right).\)
\(\Rightarrow\widehat{CMD}=90^o.\\ hay\widehat{CMF}=90^o.\)
Xét tứ giác CKFM:
\(\widehat{CMF}=90^o\left(cmt\right);\widehat{CKF}=90^o\left(CK\perp KF\right).\\ \Rightarrow\widehat{CMF}+\widehat{CKF}=180^o.\)
Mà góc ở vị trí đối nhau.
\(\Rightarrow\) Tứ giác CKFM nội tiếp đường tròn (dhnb).
Xét (O):
CD là đường kính (gt).
\(A\in\left(O\right)\left(gt\right).\)
\(\Rightarrow\widehat{CAD}=90^o.\)
Xét \(\Delta CAD\) vuông tại A, AK là đường cao:
\(AD^{\text{2}}=DK.DC\) (Hệ thức lượng). (1)
Xét \(\Delta DKF\) và \(\Delta DMC:\)
\(\widehat{DKF}=\widehat{DMC}\left(=90^o\right).\)
\(\widehat{KDF}chung.\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta DKF\) \(\sim\) \(\Delta DMC\left(g-g\right).\)
\(\Rightarrow\dfrac{DK}{DM}=\dfrac{DF}{DC}\) (2 cạnh tương ứng).
\(\Rightarrow DK.DC=DF.DM.\) (2).
Từ (1) và (2). \(\Rightarrow DF.DM=AD^{\text{2}}.\)
a) Tứ giác BEFI có: BFF = 90o (gt)
BEF = BEA = 90o
=> Tứ giác BEFI là nội tiếp đường tròn đường kính BF
b) O I F A B C D E
Vì \(AB\perp CD\)nên AC = AD
=> ACF = AEC
Xét tam giác ACF và tam giác AEC có gốc chung A và ACF = AEC
=> Tam giác ACF song song với tam giác AEC => \(\frac{AC}{AF}=\frac{AB}{AC}\)
=> AE . AF = AC2
c) Theo câu b) ta có: ACF = AEC = > AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác CEF (1)
Mặt khác, ta có: ACB = 90o (góc nội tiếp chứa đường tròn)
\(\Rightarrow AC\perp CB\)(2)
Từ (1) và (2) => CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF, mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF thuộc CB cố định E thay đổi trên cung nhỏ BC.