Question

[Le Minh Hieu]

Cho đường tròn tâm O bán kính R , 2 đường kính AB và CD vuông với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S , SA cắt đường tròn ở M , tiếp tuyến của đường tròn ở M cắt CD ở P , BM cắt CD ở T. Chứng minh :

a) PT . MA = MT . OA

b) PS = PM = PT

c) Biết PM = R . Tính TA . SM theo R .

Answer 1

[T.Ps]

#)Giải :

Có \(\widehat{AMB}=90^o\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  

\(\Rightarrow\widehat{OMA}+\widehat{OMT}=\widehat{AMB}=90^o\)

MF là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow\widehat{OMF}=90^o\Rightarrow\widehat{OMT}+\widehat{TMF}=\widehat{OMF}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{OMA}=\widehat{TMF}\left(1\right)\)

Dễ c/m \(\Delta BAM~\Delta BOT\Rightarrow\left(g.g\right)\widehat{OAM}=\widehat{OTB}\)

Mà \(\widehat{OCB}=\widehat{MTF}\left(đđ\right)\Rightarrow\widehat{OAM}=\widehat{MTF}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta OMA~\Delta FMT\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{MA}{MT}=\frac{OA}{OF}\Rightarrow MA.FT=OA.MT\)

b) Có \(\Delta OMA~\Delta FMT\left(cmt\right)\)

Mà \(\Delta OMA\) cân tại O

\(\Rightarrow\Delta FMT\) cân tại F

\(\Rightarrow FM=FT\) (cặp cạnh t/ứng = nhau)

Lại có \(\Delta TME\) vuông tại M \(\Rightarrow FM=FE\)

c) Dễ c/m được TA = TB

Mà \(\Delta MTE~\Delta OTB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{ME}{OB}=\frac{TE}{TB}\Rightarrow ME.TB=OB.TE\Rightarrow ME.TA=2R^2\left(TE=2MF=2R\right)\)