Question

[Nguyễn Thảo]

Cho đường thẳng d: x-y+1=0 và đường tròn (C): x²-y²+2x-4y=0. Tìm điểm M € d sao cho qua M vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho góc AMB= 60^O

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Sửa đề: (C) \(x^2+y^2+2x-4y=0\)

Đường tròn tâm \(I\left(-1;2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Do MA; MB là tiếp tuyến \(\Rightarrow MA=MB\)

Mà \(\widehat{AMB}=60^0\Rightarrow\Delta AMB\) đều \(\Rightarrow MA=MB=AB\)

\(\widehat{AIB}=180^0-60^0=120^0\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{IA^2+IB^2-2IA.IB.cos120^0}=\sqrt{15}\)

\(\Rightarrow IM=\sqrt{IA^2+AM^2}=\sqrt{5+15}=2\sqrt{5}\)

Do \(M\in d\Rightarrow M\left(m;m+1\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(m+1;m-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(m+1\right)^2+\left(m-1\right)^2=20\)

\(\Leftrightarrow2m^2+2=20\Rightarrow m^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Có 2 điểm M thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}M\left(3;4\right)\\M\left(-3;-2\right)\end{matrix}\right.\)