Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+4}\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{u_n}\)
Đặt \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}=2v_n+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(v_n+\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
Đặt \(v_n+\dfrac{1}{2}=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3}{2}\\x_{n+1}=2x_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội 2 \(\Rightarrow x_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}=3.2^{n-2}\)
\(\Leftrightarrow v_n=x_n-\dfrac{1}{2}=3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3.2^{n-1}-1}\)
ta có : \(u_n=\frac{1+2^m}{2^m}\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(\frac{1+2^m}{2^m}\right)=lim\left(1+\frac{1}{2^m}\right)=1\)
Hình như: \(n^2u_n=\dfrac{2.2^2.3^2...n^2}{\left(2^2-1\right)\left(3^2-1\right)...\left(n^2-1\right)}\)
Đề bài sai.
Với \(\left[{}\begin{matrix}u_1>2+\sqrt{2}\\u_1< -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) thì dãy không có giới hạn (tiến tới âm vô cực)
Dãy số đã cho hiển nhiên là dãy dương
\(u_3=2>1\Rightarrow\) dự đoán dãy trên là dãy tăng hay \(u_{n+1}>u_n\) \(\forall n\ge2\)
Với \(n=2\) ta có \(u_3>u_2\) (đúng)
Giả thiết cũng đúng với \(n=k\) hay \(u_{k+1}>u_k\)
Ta cần chứng minh \(u_{k+1}>u_{k+1}\)
Thật vậy, \(u_{k+2}=\sqrt{u_{k+1}}+\sqrt{u_k}>\sqrt{u_k}+\sqrt{u_{k-1}}=u_{k+1}\)
Mặt khác \(u_n=\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_{n-2}}< \sqrt{u_n}+\sqrt{u_n}=2\sqrt{u_n}\)
\(\Rightarrow u_n^2< 4u_n\Rightarrow u_n< 4\)
\(\Rightarrow\) Dãy số tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn
Gọi giới hạn của dãy số là \(a\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(u_{n-1}\right)=lim\left(u_{n+1}\right)=a\)
Từ biểu thức: \(u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}}\)
Lấy giới hạn 2 vế: \(\Rightarrow a=\sqrt{a}+\sqrt{a}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(l\right)\\a=4\end{matrix}\right.\)
Vậy \(lim\left(u_n\right)=4\)
Xét \(\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{u_n+4}{2u_n}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{4}{u_n}\right)\) (1)
Đặt \(\dfrac{1}{u_n}=x_n\)
(1) <=> \(x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(4x_n+1\right)=2x_n+\dfrac{1}{2}\)
<=> \(x_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(x_n+\dfrac{1}{2}\right)\) (2)
Đặt \(x_n+\dfrac{1}{2}=t_n\)
(2) <=> tn+1 = 2.tn => q = 2
Có: \(t_n=t_1.2^{n-1}\)
Mà \(t_1=x_1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{u_1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
=> \(t_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}\)
=> \(x_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}-\dfrac{1}{2}\)
=> \(u_n=\dfrac{2}{3.2^{n-1}-1}\)