Question

[Nguyễn Xuân Đình Lực]

Cho đa thức \(Q\left(x\right)=2x^3-\left(2m+3n\right)x^2+nx+3\) (biến số là x). Tìm m và n sao cho Q(x) chia hết cho (1+2x) và biết \(x=\sqrt{3}\) là một nghiệm của Q(x)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(Q\left(x\right)⋮\left(2x+1\right)\Rightarrow Q\left(-\frac{1}{2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{11}{4}-\frac{2m+3n}{4}-\frac{n}{2}=0\Leftrightarrow-\frac{1}{2}m-\frac{5}{4}n=-\frac{11}{4}\)

\(x=\sqrt{3}\) là nghiệm của Q(x) \(\Rightarrow Q\left(\sqrt{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-6m+\left(\sqrt{3}-9\right)n=-3-6\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m+5n=11\\6m+\left(9-\sqrt{3}\right)n=3+6\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=6-2\sqrt{3}\\m=\frac{-19+10\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)