Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Ta có:
\(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^2+a+b^2+b}{ab}\)
Vì \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\) là số tự nhiên
=> \(\frac{a^2+a+b^2+b}{ab}\) là số tự nhiên
=> \(a^2+a+b^2+b⋮ab\)
Lại có: d = ( a; b ) => \(\hept{\begin{cases}a⋮d\\b⋮d\end{cases}}\Rightarrow ab⋮d^2;a^2⋮d^2;b^2⋮d^2\)
=> \(a^2+a+b^2+b⋮d^2\) và \(a^2+b^2⋮d^2\)
=> \(a+b⋮d^2\)
=> \(a+b\ge d^2\)
Đặt \(A=\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\left(\frac{a+1}{b}+1\right)+\left(\frac{b+1}{a}+1\right)-2=\left(a+b+1\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-2\)
Vì A có giá trị là một số tự nhiên nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) phải có giá trị là số tự nhiên hay
\(\frac{a+b}{ab}\) là một số tự nhiên \(\Rightarrow\left(a+b\right)⋮ab\)
Vì d là ƯCLN(a,b) nên \(a=dm,b=dn\) \(\Rightarrow\begin{cases}a+b=d\left(m+n\right)\\ab=d^2mn\end{cases}\) (m,n thuộc N)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{d\left(m+n\right)}{d^2mn}=\frac{m+n}{dmn}\)
=> (m+n) chia hết cho dmn \(\Rightarrow m+n\ge d\)
\(\Rightarrow d\left(m+n\right)\ge d^2\) hay \(a+b\ge d^2\)
Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Đặt
X
=
a
+
1
b
+
b
+
1
a
=
a
2
+
b
2
+
a
+
b
a
b
Vì X là số tự nhiên =>
a
2
+
b
2
+
a
+
b
⋮
a
b
Vì d=UCLN(a,b) =>
a
⋮
d
và
b
⋮
d
=>
a
b
⋮
d
2
=>
a
2
+
b
2
+
a
+
b
⋮
d
2
Lại vì
a
⋮
d
và
b
⋮
d
=>
a
2
⋮
d
2
và
b
2
⋮
d
2
=>
a
2
+
b
2
⋮
d
2
=>
a
+
b
⋮
d
2
=>
a
+
b
≥
d
2
(đpcm)
a, b là số tự nhiên khác 0
suy ra \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}>0\)
=> \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\)là số tự nhiên.
Tiếp theo em tham khảo bài làm dưới link này nhé.
Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath