Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2. Áp dụng BĐT Cauchy dưới dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+4+9\right)^2}{x+y+z}=196\)
⇒ \(P_{MIN}=196."="\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Bạn xem lại đề bài, mặc dù bài này giải được ra kết quả cụ thể, nhưng chắc không ai cho đề như vậy cả
Sau khi tính toán thì \(P_{min}=4+2\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6};\dfrac{3+\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\right)\) và hoán vị
Nhìn thật kinh khủng, chẳng có lý gì cả.
Nếu điều kiện \(x+y=1\) thì biểu thức \(P=\dfrac{a}{x^3+y^3}+\dfrac{b}{xy}\) cần có tỉ lệ \(\dfrac{b}{a}\ge3\) để ra 1 kết quả đẹp mắt và bình thường
Ví dụ có thể cho đề là \(P=\dfrac{1}{3\left(x^3+y^3\right)}+\dfrac{1}{xy}\) hoặc \(P=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{4}{xy}\) gì đó :)
\(Q\ge2\left(x+y+z\right)+3.\frac{9}{x+y+z}=2\left(x+y+z\right)+\frac{27}{x+y+z}.\)
Đặt X+Y+Z=t (\(t\le1\))
\(Q\ge2t+\frac{27}{t}=\left(2t+\frac{2}{t}\right)+\frac{25}{t}\ge2\sqrt{2t.\frac{2}{t}}+\frac{25}{1}=4+25=29\\ \)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3
Theo bđt cô si ta có : \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\) và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)
=> \(Q\ge6\sqrt[3]{xyz}+9\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\ge2\sqrt{6\sqrt[3]{xyz}\cdot9\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}}=6\sqrt{6}\)
Dấu = xảy ra khi : \(6\sqrt[3]{xyz}=9\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\) Giải ra ta đc : \(xyz=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}\)
Lời giải:
\(\frac{1}{2x+y+6}+\frac{1}{2y+z+6}+\frac{1}{2z+x+6}\leq \frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{6}{2x+y+6}+\frac{6}{2y+z+6}+\frac{6}{2z+x+6}\leq \frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow 1-\frac{2x+y}{2x+y+6}+1-\frac{2y+z}{2y+z+6}+1-\frac{2z+x}{2z+x+6}\leq \frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{2x+y}{2x+y+6}+\frac{2y+z}{2y+z+6}+\frac{2z+x}{2z+x+6}\geq \frac{3}{2}\)
-----------------------
Thật vậy. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A=\frac{(2x+y)^2}{(2x+y)(2x+y+6)}+\frac{(2y+z)^2}{(2y+z)(2y+z+6)}+\frac{(2z+x)^2}{(2z+x)(2z+x+6)}\)
\(\geq \frac{(2x+y+2y+z+2z+x)^2}{ (2x+y)(2x+y+6)+(2y+z)(2y+z+6)+(2z+x)(2z+x+6)}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{9(x+y+z)^2}{5(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+xz)+18(x+y+z)}\)
Ta sẽ cm \( \frac{9(x+y+z)^2}{5(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+xz)+18(x+y+z)}\geq \frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{3(x+y+z)^2}{5(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+xz)+18(x+y+z)}\geq \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+8(xy+yz+xz)\geq 18(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow (x+y+z)^2+6(xy+yz+xz)\geq 18(x+y+z)(*)\)
Theo BĐT AM-GM: \((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 24xyz\Rightarrow xy+yz+xz\geq 2\sqrt{6(x+y+z)}\)
Đặt \(\sqrt{6(x+y+z)}=t\)
Có \((x+y+z)^2+6(xy+yz+xz)\geq \frac{t^4}{36}+12t\geq 18.\frac{t^2}{6}\)
\(\Leftrightarrow \frac{t^3}{36}+12\geq 3t\)
\(\Leftrightarrow t^3-108t+432\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (t-6)^2(t+12)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(t\geq 0\) )
Do đó ta có \((*)\), từ \((*)\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}\). CM kết thúc
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
\(P\ge2x^2+16y^2+\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+2\left(2-x-2y\right)\)
\(=\,{\frac { 2\left( x+1 \right) \left( x-1 \right) ^{2}}{x}}+{\frac { \left( 4\,y+3 \right) \left( 2\,y-1 \right) ^{2}}{y}}+14 \geq 14\)
Đẳng thức xảy ra khi $x=1,\,y=\frac{1}{2}.$
PS: Có một cách dùng AM-GM$,$ bạn tự làm:P
\(1=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2^2}{y}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{x+y}=\dfrac{9}{x+y}\Rightarrow x+y\ge9\)
\(\Rightarrow P_{min}=9\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=6\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x^2+9\geq 2\sqrt{9x^2}=6x\)
\(\Rightarrow S\geq 6x-x+3y+\frac{9}{x}+\frac{1}{y}=5x+3y+\frac{9}{x}+\frac{1}{y}(1)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
\(x+\frac{9}{x}\geq 2\sqrt{9}=6\)
\(y+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{1}=2\)
\(4x+2y=2(2x+y)\geq 14\)
Cộng theo vế: \(\Rightarrow 5x+3y+\frac{9}{x}+\frac{1}{y}\geq 22(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow S\geq 22\Leftrightarrow S_{\min}=22\)
Dấu bằng xảy ra khi $x=3,y=1$