Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+bc\ge2\sqrt{a^4bc}=2a^2\sqrt{bc}\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+bc}\le\frac{a^2}{2a^2\sqrt{bc}}\)\(=\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(M\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ac}}\). Theo AM-GM có
\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\) thì
\(M\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
từ GT suy ra abc >=1 và a/bc + b/ca + c/ab = 3.
áp dụng BĐT Cauchy : a4 + bc >=2a2v(bc) (v(bc) là căn bc).
nên a2/a4 + bc <=1/2v(bc).
do đó M <= 1/2.(1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab).
ta chứng minh N = (1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab) <=3 là xong.
thật vậy.
giả sử a <=b<=c nên 1/v(bc) <= 1/v(ca)<= 1/v(ab).
áp dụng BĐT Trê bư sep ta được (v(a) + v(b) + v(c))/3 . ((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3 <= (v(a)/v(bc) + v(b)/v(ca) + v(c)/v(ab)/3.
ta có v(a) + v(b) + v(c) >=3 căn6(abc)>=3.
nên VT >=((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3. (1)
lại có (x + y + z)2 <=3(x2 + y2 + z2) nên (VP)2 <= (a/bc + b/ca + c/ab)/3= 1.
hay VP <= 1 (2).
từ (1) và (2) suy ra ((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3 <= 1 hay
(1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab) <= 3
tức N <= 3 (đpcm).
(mình chưa biết đánh nên cố đọc nhé!)
Ta có : \(\frac{a}{b^2c^2}+\frac{b}{c^2a^2}+\frac{c}{a^2b^2}=\frac{a^4}{a^3b^2c^2}+\frac{b^4}{b^3c^2a^2}+\frac{c^4}{c^3a^2b^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel và giả thiết a2 + b2 + c2 = 3abc ta có :
\(\frac{a^4}{a^3b^2c^2}+\frac{b^4}{b^3c^2a^2}+\frac{c^4}{c^3a^2b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(3abc\right)^2}{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1
\(GT\Rightarrow\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}=3\)
Ta có: \(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{a^4}+\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}\ge4\sqrt[4]{\frac{1}{a^{12}b^4}}=\frac{4}{a^3b}\)
Tương tự: \(\frac{3}{b^4}+\frac{1}{c^4}\ge\frac{4}{b^3c}\) ; \(\frac{3}{c^4}+\frac{1}{a^4}\ge\frac{4}{c^3a}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3b}+\frac{1}{b^3c}+\frac{1}{c^3a}\le\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}=3\)
\(VT=\frac{1}{a^3b+c^2+c^2+1}+\frac{1}{b^3c+a^2+a^2+1}+\frac{1}{c^3a+b^2+b^2+1}\)
\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a^3b}+\frac{2}{c^2}+1+\frac{1}{b^3c}+\frac{2}{a^2}+1+\frac{1}{c^3a}+\frac{2}{b^2}+1\right)\)
\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a^3b}+\frac{1}{b^3c}+\frac{1}{c^3a}+2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+3\right)\)
\(VT\le\frac{1}{16}\left(6+2\sqrt{3\left(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}\right)}\right)=\frac{1}{16}\left(6+6\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Với \(a^2+b^2+c^2=1\), ta có: \(\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2+ab-c^2}}\)
\(=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}}\)
\(\ge\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(ab+2c^2\right)+\left(a^2+b^2+ab\right)}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+2ab+2c^2}{2}}\)
\(\ge\text{}\Sigma\text{}\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+b^2\right)+2c^2}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}\)
\(=\Sigma\left(ab+2c^2\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\)
\(=2+ab+bc+ca\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
bạn chia a^2 cho ca tu và mẫu . từ giả thiết ta có : 3abc >= ab +bc+ ca . suy ra : 1/a + 1/b +1/c<=3 . sau khi chia ở A : ta có si ở mẫu . rồi áp dụng cô si ngc la ra . ban nao ko hieu thi nhan voi minh