Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\ge a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Làm tương tự có hai bất đẳng thức với \(\frac{b+1}{c^2+1}\)và \(\frac{c+1}{a^2+1}\)sau đó cộng lại ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\left(a+1-\frac{ab+b}{2}\right)+\left(b+1-\frac{bc+c}{2}\right)+\left(c+1-\frac{ca+a}{2}\right)\)
\(=3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\).
Nếu ta chứng minh được \(a+b+c-ab-bc-ca\ge0\)ta sẽ có đpcm.
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca\).
Do đó ta có đpcm.
Đặt: \(A=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\), khi đó ta được:
\(A^2=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+c^2+\frac{1}{c^2}\)
\(+2\cdot\sqrt{\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)}+2\cdot\sqrt{\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)}+2\cdot\sqrt{\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\sqrt{\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)}\ge\sqrt{\left(ab+\frac{1}{ab}\right)^2}=ab+\frac{1}{ab}\)
\(\sqrt{\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)}\ge\sqrt{\left(bc-\frac{1}{bc}\right)^2}=bc+\frac{1}{bc}\)
\(\sqrt{\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)}\ge\sqrt{\left(ca+\frac{1}{ca}\right)^2}=ca+\frac{1}{ca}\)
Do đó ta có:
\(A^2\ge a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(ab+bc+ca+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{9}{a+b+c}\right)^2=82\)
Hay \(A\ge\sqrt{82}\), vậy bất đẳng thức được chứng minh.
\(a,b,c\)theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên \(a-b=b-c\).
\(d\)là công sai của cấp số cộng.
Nếu \(d=0\)dễ dàng thấy đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Nếu \(d\ne0\):
\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-b}\)
\(=\frac{a-c}{\left(a-b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)
<br class="Apple-interchange-newline"><div></div>a,b,ctheo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a−b=b−c.
dlà công sai của cấp số cộng.
Nếu d=0dễ dàng thấy đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Nếu d≠0:
1√a+√b +1√b+√c =√a−√ba−b +√b−√cb−c =√a−√ca−b
=a−c(a−b)(√a+√c) =2√a+√c
Lời giải khác:
Theo BĐT AM-GM:
\(\text{VT}=\sum \frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{a}\geq \sum \frac{\sqrt{(b+c)^2-a^2}}{a}=\sum \frac{\sqrt{a+b+c}.\sqrt{b+c-a}}{a}\)
\(=\sum \frac{\sqrt{a+b+c}.(b+c-a)}{\sqrt{a^2(b+c-a)}}\)
Theo BĐT AM-GM:
$a^2(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$
\(\Rightarrow \text{VT}\geq 3\sqrt{3}\sum \frac{\sqrt{a+b+c}(b+c-a)}{\sqrt{(a+b+c)^3}}=3\sqrt{3}.\sum \frac{b+c-a}{a+b+c}=3\sqrt{3}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Chuẩn hóa \(a+b+c=3\)
Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên ta cũng suy ra \(0< a;b;c< \frac{3}{2}\)
Đặt vế trái là P, ta có:
\(P=\sum\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}}{a}\ge\sum\frac{\sqrt{\left(b+c\right)^2-a^2}}{a}=\sum\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)}}{a}=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3-2a}}{a}+\frac{\sqrt{3-2b}}{b}+\frac{\sqrt{3-2c}}{c}\right)\)
Ta có đánh giá: \(\frac{\sqrt{3-2a}}{a}\ge3-2a\) với mọi \(a\in\left(0;\frac{3}{2}\right)\)
Thật vậy, BĐT \(\Leftrightarrow a\sqrt{3-2a}\le1\)
\(\Leftrightarrow1-a^2\left(3-2a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(2a+1\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự \(\frac{\sqrt{3-2b}}{b}\ge3-2b\) ; \(\frac{\sqrt{3-2c}}{c}\ge3-2c\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\left[9-2\left(a+b+c\right)\right]=3\sqrt{3}\) (đpcm)
Ta có đánh giá sau: \(a^2-\frac{3}{a}\le5a-7\) \(\forall a\in\left(0;3\right)\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(a^3-5a^2+7a-3\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a-3\right)\le0\) (luôn đúng \(\forall a\in\left(0;3\right)\)
Tương tự ta có: \(b^2-\frac{3}{b}\le5b-7\); \(c^3-\frac{3}{c}\le5c-7\)
Cộng vế với vế:
\(P\le5\left(a+b+c\right)-21=-6\)
\(\Rightarrow P_{max}=-6\) khi \(a=b=c=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}=\sum \frac{a+1}{b^2+1}=\sum [(a+1)-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}]=\sum (a+1)-\sum \frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\)
\(=6-\sum \frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\geq 6-\sum \frac{b^2(a+1)}{2b}=6-\sum \frac{ab+b}{2}\)
\(=6-\frac{\sum ab+3}{2}\geq 6-\frac{\frac{1}{3}(a+b+c)^2+3}{2}=6-\frac{3+3}{2}=3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$