Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^4}{27.27.9}}=\frac{4a}{9}\)
\(\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{b+2}{27}+\frac{c+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4b}{9}\)
\(\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{c+2}{27}+\frac{a+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4c}{9}\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{2(a+b+c)}{27}+\frac{7}{9}\geq\frac{4(a+b+c)}{9}\)
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}\geq \frac{10(a+b+c)}{27}-\frac{7}{9}=\frac{30}{27}-\frac{7}{9}=\frac{1}{3}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
BT2: Nhân 2 lên, chuyển vế, biến đổi bla..... sẽ ra đpcm
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{(b+2)(c+3)}+\frac{b+2}{36}+\frac{c+3}{48}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{36.48}}=\frac{a}{4}\)
Tương tự:\(\frac{b^3}{(c+2)(a+3)}+\frac{c+2}{36}+\frac{a+3}{48}\geq \frac{b}{4}\)
\(\frac{c^3}{(a+2)(b+3)}+\frac{a+2}{36}+\frac{b+3}{48}\geq \frac{c}{4}\)
Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn ta có:
\(\frac{a^3}{(b+2)(c+3)}+\frac{b^3}{(c+2)(a+3)}+\frac{c^3}{(a+2)(b+3)}\geq \frac{29}{144}(a+b+c)-\frac{17}{48}\)
Mà cũng theo AM-GM:
\(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{(b+2)(c+3)}+\frac{b^3}{(c+2)(a+3)}+\frac{c^3}{(a+2)(b+3)}\geq \frac{29}{144}(a+b+c)-\frac{17}{48}\geq \frac{29}{144}.3-\frac{17}{48}=\frac{1}{4}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Câu 3. Dự đoán dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Dùng phương pháp chọn điểm rơi thôi :)
LG
Áp dụng bđt Cô-si được \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{27}\ge a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{27}}\ge abc\)
Khi đó :\(B=a+b+c+\frac{1}{abc}\)
\(=a+b+c+\frac{1}{9abc}+\frac{8}{9abc}\)
\(\ge4\sqrt[4]{abc.\frac{1}{9abc}}+\frac{8}{9.\frac{1}{\sqrt{27}}}\)
\(=4\sqrt[4]{\frac{1}{9}}+\frac{8\sqrt{27}}{9}=\frac{4}{\sqrt[4]{9}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy .........
2, \(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(A=\left[\frac{a^2}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{b^2}{a+c}+\frac{\left(a+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{c^2}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)}{4}\right]-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{b^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{c^2}{4}}-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(A\ge a+b+c-\frac{6}{2}\)
\(A\ge6-3\)
\(A\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4}\Leftrightarrow4a^2=\left(b+c\right)^2\Leftrightarrow2a=b+c\)(1)
\(\frac{b^2}{a+c}=\frac{a+c}{4}\Leftrightarrow4b^2=\left(a+c\right)^2\Leftrightarrow2b=a+c\)(2)
\(\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}\Leftrightarrow4c^2=\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow2c=a+b\)(3)
Lấy \(\left(1\right)-\left(3\right)\)ta có:
\(2a-2c=c+b-a-b=c-a\)
\(\Rightarrow2a-2c-c+a=0\)
\(\Leftrightarrow3.\left(a-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a-c=0\Leftrightarrow a=c\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}b=c\\a=b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=b=c=2\)
Vậy \(A_{min}=3\Leftrightarrow a=b=c=2\)
Nhìn qua đã biết là đề sai rồi bạn
Cho \(a,b,c\) các giá trị lớn ví dụ \(a=b=c=2\) là thấy sai ngay
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2a+b+c=(a+b)+(a+c)\geq 2\sqrt{(a+b)(a+c)}\)
\(\Rightarrow (2a+b+c)^2\geq 4(a+b)(a+c)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(2a+b+c)^2}\leq \frac{1}{4(a+b)(a+c)}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
\(P\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{(a+b)(a+c)}+\frac{1}{(b+c)(b+a)}+\frac{1}{(c+a)(c+b)}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{4}.\frac{(b+c)+(c+a)+(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(\Leftrightarrow P\leq \frac{a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Lại có: \((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\) (theo AM-GM)
\(\Rightarrow P\leq \frac{a+b+c}{2.8abc}=\frac{a+b+c}{16abc}(1)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab}; \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{2}{bc}; \frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\geq \frac{2}{ac}\)
\(\Rightarrow 2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\geq 2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)
\(\Leftrightarrow 3\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}\)
\(\Rightarrow a+b+c\leq 3abc(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow P\leq \frac{3abc}{16abc}=\frac{3}{16}\)
Vậy \(P_{\max}=\frac{3}{16}\). Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)