Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với mọi số thực a;b;c ta luôn có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\) (1)
Tương tự: \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2a+2b+2c\) (2)
Cộng vế với vế (1) và (2)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\le6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta co:
\(\left(ab+bc+ca\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\text{ }\frac{\left[a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\right]^3}{27}\)
\(\frac{\left[a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\right]^3}{27}=\frac{\left(a+b+c\right)^6}{27}=\frac{3^6}{27}=27\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=1\)
bài này ko khác gì câu 921427 nhé bạn, có điều bạn tìm cách tách a + 3b + 2c = (a + b) + (b + c) + (b + c)
Thêm nữa, áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) với a, b, c > 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
EZ!!!Sau khi sử dụng 1 số bđt đơn giản, ta sẽ được:
\(\text{Σ}_{cyc}\frac{ab}{a+3b+2c}\le\frac{1}{9}\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)=K\)
\(P\le K=\frac{1}{9}\left[\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\frac{a+b+c}{2}\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left(b+a+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2
Sử dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\sqrt{a^2+b^2c^2}=\sqrt{a^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+b^2c^2}=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(a^2+bc\right)^2}=a^2+bc\)
Tương tự: \(\sqrt{b^2+c^2a^2}\ge b^2+ca\)
\(\sqrt{c^2+a^2b^2}\ge c^2+ab\)
Cộng mại ta có: \(VT\ge ab+bc+ca+1\)
Theo đề ra ta có :
\(ab+bc+ca-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=-\left[\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{6}\right]\le0\)
và : \(ab+bc+ca\le3\)
Suy ra : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta được :
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Thiết lập 2 đẳng thức tương tự, cộng về theo về, ta có :
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{c+a}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)+\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\right]\)
và : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}\)
Mà : \(a+b+c=3\)( theo đề bài ) , suy ra đpcm
ở dòng thứ 3 qua dòng thứ 4 bạn sai nhé. đáng lẽ là \(\ge\)
Ta có
\(x^2+y^2\ge2xy\)hay\(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\left(\forall x,y\right)\)
\(=>ab+bc+ca+a+b+c\le\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}+\frac{a^2+1}{2}\)
\(+\frac{b^2+1}{2}+\frac{c^2+1}{2}\)
\(=a^2+b^2+c^2+\frac{a^2+b^2+c^2+3}{2}\left(do\right)a^2+b^2+c^2=3\)
\(=>=3+\frac{3+3}{2}=6\)
=> dpcm
cậu zô trang tuyển tập những toán hay nhá. Nơi đó nhiều bài hay lắm
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 > 0
(b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2 > 0
(c - a)^2 = c^2 - 2ac + a^2 > 0
=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 > 2ab + 2bc + 2ac
=> 6 > 2ab + 2bc + 2ac
=> 3 > ab + bc + ac (1)
(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1 > 0
(b - 1)^2 = b^2 - 2b + 1 > 0
(c - 1)^2 = c^2 - 2c + 1 > 0
=> a^2 + b^2 + c^2 + 1 + 1 + 1 > 2a + 2b + 2c
=> 6 > 2a + 2b + 2c
=> 3 > a + b + c và (1)
=> 6 > ab + ac + bc + a + b + c