Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(x;y⋮̸3\)
\(\Rightarrow x^2;y^2\) chia 3 dư 1
\(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\) chia 3 dư 2 ( vô lý vì z^2 là số chính phương )
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}x⋮3\\y⋮3\end{matrix}\right.\Rightarrow xy⋮3\)
Chứng minh tương tự \(xy⋮4\)
(3;4)=1 => x.y chia hết cho 12
áp dụng bdt cauchy-schwart dạng engel ta có
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}\)\(+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\) =\(\frac{3^2}{3+\sqrt{yx}+\sqrt{xz}+\sqrt{zy}}\)
áp dụng bdt phụ(bn tự cm nhé ^^)
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\le3\)
\(\Rightarrow\frac{3^2}{3+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{3^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
dau = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
(*) Xét BĐT \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\) với a ; b; c ;d > 0
BĐT <=> \(\left(a+b\right)\left(c+d\right)\ge ac+bd+2\sqrt{abcd}\)
<=> \(ad-2\sqrt{abcd}+bc\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{ad}-\sqrt{bc}\right)^2\ge0\)
Dễ thấy BĐT cuối luôn đúng
Dấu '' = '' của BĐT xảy ra khi ad = bc <=> \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
(*) ÁP dụng BĐT ta có
\(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{\left(x+y+z\right)x+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)
=> \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Dấu '' = '' của BĐT xảy ra khi x/y = z/x
(*) CMTT với hai cái còn lại
Cộng Ba vế BĐT ta đc ĐPCM
Dấu '' = '' của BĐT xảy ra khi x = y = z = 1
a, Giả sử \(x,y \vdots 3\)
=> \(x^2 ;y^2 \) : 3 dư 1
=> \(z^2 = x^2+y^2 \) : 3 dư 2 ( vô lý vì \(z^2\) là số chính phương )
Vậy \(x\vdots 3y\vdots 3 => xy \vdots 3\)
Chứng minh tương tự \(xy \vdots 4\)
\((3;4) =1 => xy \vdots 12\)
còn câu b ạ?