Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét a1^5 - a1 = a1.(a1^4-1) = a1.(a1^2-1).(a1^2+1) = a1.(a1-1).(a1+1).(a1^2-4+5)
= a1.(a1-1).(a1+1).(a1-2).(a1+2) + 5.a1.(a1-1).(a1+1)
Ta thấy a1-2;a1-1;a1;a1+1;a1+2 là 5 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 3 , 1 số chia hết cho 5
=> a1.(a1-1).(a1+1).(a1-2).(a1+2) chia hết cho 30 [vì (2;3;5)=1] (1)
Lại có a1-1;a1;a1+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3
=> a1.(a1-1).(a1+1) chia hết cho 6 [vì(2;3)=1]
=>5.a1.(a1-1).(a1+1) chia hết cho 30(2)
Từ (1) và (2) => a1^5-a1 chia hết cho 30
Tương tự a2^5-a2 chia hêt cho 30
......
a2013^5-a2013 chia hết cho 30
=> M-N chia hết cho 30
Mà N chia hết cho 30 nên M chia hết cho 30
+Nếu ai⋮30 thì ai5⋮30.
+Nếu ai chia 5 dư 1 thì ai5 chia 30 dư 1 (ai5 ≡ 15 ≡ 1 (mod 30))
+Nếu ai chia 5 dư 2 thì ai5 chia 30 dư 2 (ai5 ≡ 25 ≡ 2 (mod 30))
.
.
.
+Nếu ai chia 5 dư 29 thì ai5 chia 30 dư 29
Vậy ai5 luôn có cùng số dư với ai khi chia cho 30.
Do Tổng ai (i = 1..n) chia hết cho 30
Nên tổng ai5 (i = 1..n)chia hết cho 30.
Có vẻ cách này không hay lắm, nhưng kẹt thì đành làm vậy.
bài 2
Cộng 2 vế của -4038.(1) + (2) ta được
\(a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038\left(a_1+a_2+...+a_{2019}\right)\le2019^3+1-4028.2019^2\)
\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}\)
\(\le2019^3+1-2019.2019^2-2019.2019^2\)
\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}+2019.2019^2\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(a_1^2-4038a_1+2019^2\right)+...+\left(a_{2019}^2-4038a_{2019}+2019^2\right)\le1\)
\(\Leftrightarrow A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\le1\)
Do \(a_1;a_2;...;a_{2019}\in N\)nên \(A\in N\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}A=0\\A=1\end{cases}}\)
*Nếu A = 0
Dễ thấy \(A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\ge0\forall a_1;a_2;...;a_{2019}\)
Nên dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a_1=a_2=a_3=...=a_{2019}=2019\)
*Nếu A = 1
\(\Leftrightarrow\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)(*)
Từ đó dễ dàng nhận ra trong 2019 số \(\left(a_1-2019\right)^2;\left(a_2-2019\right)^2;...;\left(a_{2019}-2019\right)^2\)phải tồn tại 2018 số bằng 0
Hay nói cách khác trong 2019 số \(a_1;a_2;a_3;...;a_{2019}\)phải tồn tại 2018 số có giá trị bằng 2019
Giả sử \(a_1=a_2=...=a_{2018}=2019\)
Khi đó (*)\(\Leftrightarrow\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a_{2019}=2020\\a_{2019}=2018\end{cases}}\)
Thử lại...(tự thử nhé)
Vậy...
Bài 1 : Vì \(4^{2019}\)có cơ số là 4 , số mũ 2019 là lẻ nên có tận cùng là 4
Để \(4^{2019}+3^n\)có tận cùng là 7 thì \(3^n\)có tận cùng là 3
Mà n là số tự nhiên nên n = 1
Bạn áp dụng cái này là được: \(a^3-a⋮3\)\(\forall a\in Z\)
Đặt \(B=a_1+a_2+...+a_{2016}\)
\(\Rightarrow A-B=\left(a_1^3+a_2^3+...+a_{2016}^3\right)-\left(a_1+a_2+....+a_{2016}\right)\)
\(=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_{2016}^3-a_{2016}\right)\)
\(=\left(a_1-1\right)a_1\left(a_1+1\right)+\left(a_2-1\right)a_2\left(a_2+1\right)+...+\left(a_{2016}-1\right)a_{2016}\left(a_{2016}+1\right)⋮6\)
Mà \(B⋮6\Rightarrow A⋮6\)