Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mà đề cho (a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) thì phải liên tưởng đến (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) để đưa vào bất đẳng thức. Vậy phải xuất phát từ biểu thức này và biến đổi theo một cách nào đó cho nó xuất hiện giả thiết là : ad - bc = 1. Ở đây là thêm và bớt 2abcd
Ta có: (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac)^2 + (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd + 2abcd = (ad - bc)^2 + (ac + bd)^2
Thay: ad - bc = 1 => 1 + (ac + bd)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)
Áp dụng BĐT Cauchy:
(a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) ≥ 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)]
=> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd ≥ 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)] + ac + bd
Do đó chỉ cần CM: 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)] + ac + bd ≥ √3
<=> 2 √[1 + (ac + bd)^2] + ac + bd ≥ √3
Đặt ac + bd = x và p = 2√(1 + x^2) + x
Ta có IxI = √(x^2) < 2√(1 + x^2) ; mà IxI ≥ -x => p > 0
Xét: p^2 = 4(1 + x)^2 + 4x√(1 + x^2) + x^2 = (1 + x^2) + 4x√(1 + x^2) + 4x^2 + 3
= [√(1 + x^2) + 2x]^2 + 3 ≥ 3 => p^2 ≥ 3 => p ≥ √3
=> S ≥ √3
b/ Dấu đẳng thức xảy ra khi a^2 + b^2 = c^2 + d^2 và √(1 + x^2) + 2x = 0 => x = -1/√3
Khi đó có: a^2 + b^2 = c^2 + d^2 và ac + bd = -1/√3 và ad - bc = 1
Theo biến đổi ở đầu bài thì (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ad - bc)^2 + (ac + bd)^2 = 1 + 1/3 = 4/3
Do đó: a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2/√3
Ta có: (a + c)^2 + (b + d)^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2 + 2ac + 2bd = 2. 2/√3 + 2.(-1/√3) = 2/√3
vậy: (a + c)^2 + (b + d)^2 = 2/√3
Học chi cho lắm cx bằng nhau à
1,a\(\frac{x}{\sqrt{\left(x-1\right).1}}\ge\frac{x}{\frac{x}{2}}=2\left(dpcm\right)\)
b,tương tự như câu a( đều xài co-sy cả mà)
\(\frac{a^2}{b-1}\ge\frac{a^2}{\frac{b^2}{4}}=\frac{4a^2}{b^2}\)tương tư như vậy, biểu thức sẽ :
\(\ge4\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)\ge4.2=8\)
bằng khi a=b
Bài 2:b) \(9=\left(\frac{1}{a^3}+1+1\right)+\left(\frac{1}{b^3}+1+1\right)+\left(\frac{1}{c^3}+1+1\right)\)
\(\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\)
Ta sẽ chứng minh \(P\le\frac{1}{48}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
Ai có cách hay?
1/Đặt a=1/x,b=1/y,c=1/z ->x+y+z=1.
2a) \(VT=\frac{\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
\(=\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a^4b^4}\right]}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a^3b^3\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4\left(ab\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\right]^3}=\frac{16}{\left(a+b\right)^3}\)
\(a)\)\(A=\sqrt{3\left(\sqrt{2}\right)^2-2\left(\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}.\sqrt{2}-1}=\sqrt{6-2\sqrt{2}-2-1}\)
\(A=\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2-2\sqrt{2}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}=\left|\sqrt{2}-\sqrt{1}\right|=\sqrt{2}-1\)
\(b)\)\(C=\left(1-\sqrt{2}\right)^2+\sqrt{8}-2=1-2\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}-2=1\)
\(c_1)\)\(D=\sqrt{\left(1-\sqrt{x}\right)^2}.\sqrt{x+1+2\sqrt{x}}=\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\) ( đề sai r mem :3 )
\(D=\left|\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\right|=\left|x-1\right|\)
\(c_2)\)\(D=\left|x-1\right|=\left|2020-1\right|=2019\)
Đặt: \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{xyz}\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=1\)
Ta có:
\(S=\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{1}{y}.\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}+\frac{\frac{1}{y}}{\sqrt{\frac{1}{z}.\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{y^2}\right)}}+\frac{\frac{1}{z}}{\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{z^2}\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{yz}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{zx}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{xy}{1+z^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{yz}{xy+yz+zx+x^2}}+\sqrt{\frac{zx}{xy+yz+zx+y^2}}+\sqrt{\frac{xy}{xy+yz+zx+z^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}.\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{x}{z+x}+\frac{y}{z+y}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(1+1+1\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)