Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a}{b}\Leftrightarrow\dfrac{ab+1}{b}=\dfrac{a}{b}\Leftrightarrow ab+1=a\left(1\right)\)
\(\dfrac{a}{b}=-4\Leftrightarrow a=-4b\left(2\right)\)
Thay (2) vào (1), ta được:
\(-4b^2+1=-4b\)
\(\Rightarrow-4b^2+4b+1=0\)
\(\Rightarrow-4\left(b^2+b-\dfrac{1}{4}\right)=0\)
\(\Rightarrow-4\left(b^2+2\cdot b\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)+2=0\)
\(\Rightarrow-4\left(b+\dfrac{1}{2}\right)^2=-2\)
\(\Rightarrow\left(b+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b+\dfrac{1}{2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\b+\dfrac{1}{2}=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2}\\b=\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2}\\a=2-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2}\\a=2+2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy ..................................
(a+1/b)2=16 <=> a2+2a/b+1/b2=16 <=> a2+1/b2=24 (1)
Từ giả thiết và (1) suy ra: (a+1/b)(a2+1/b2)= -96 rồi tính đc cái cần tính
Ta có : a/b + b/c = 1 <=> (ac+b2)/(bc) (1)
c/a=-1 <=> c= -a => -3abc = +3c2b2 = 3(bc)2(2)
Ta có :
M = [(ac)3+(b2)3]/(bc) 3
<=> [(ac+b2)((ac)2-acb2+(b2)2]/(bc)3
<=> [( ac+b2)((ac) 2+2acb2+(b2)2 -3acb2]/(bc)3
<=> [(ac+b2)*((ac+b2)-3acb2)]/(bc)3
<=> [(ac+b2)/bc)] *[ (ac+b2)-3acb2)]/(bc)2
Từ( 1),(2) thay vào bt trên ta có
<=>1*[ (ac+b2)+3(cb)2]/(bc)2]
<=> 3+ [(ac+b) 2/(bc) 2]
<=> 3+[(ac+b )/(bc )] 2
<=> 3+12=4
Vậy M =4
1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) = 4/(a+b+c)
=> [1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)](a+b+c) = 4
=> 3 + c/(a+b) +a/(b+c) + b/(c+a) = 4
=> [3 + c/(a+b) + a/(b+c) + b/(c+a)](a+b+c) = 4(a+b+c)
=> 3(a+b+c) + c + c2(a+b) + a + a2(b+c) + b + b2(c+a) = 4(a+b+c)
=> a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b) = 0
Ko cần cảm ơn, mik giúp bạn chỉ vì mik đang sắp rơi vào danh sách học sinh dốt của hoc24h ^^
Với mọi số thực dương x , ta có
\(\sqrt{x^3+1}=\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\le\left(\dfrac{\left(x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)}{2}\right)=\dfrac{x^2+2}{2}\)Từ đó , kết hợp với bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số \(\left(\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b^2+2\right)}};\dfrac{b}{\sqrt{b\left(a^2+2\right)}}\right)\)và \(\left(\sqrt{a\left(b^2+2\right)}\right);\sqrt{b\left(a^2+2\right)}\)với a + b = 4 , ta có
P = \(\dfrac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^3+1}}\ge2\left(\dfrac{a}{b^2+2}+\dfrac{b}{a^2+2}\right)\)
\(=2\left(\dfrac{a^2}{a\left(b^2+2\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a^2+2\right)}\right)\ge2\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a\left(b^2+2\right)+b\left(a^2+2\right)}\right)\)
\(=\dfrac{32}{ab\left(a+b\right)+2\left(a+b\right)}=\dfrac{8}{ab+2}\ge\dfrac{8}{\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2+2}=\dfrac{4}{3}\)
( do áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ) .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = \(\dfrac{4}{3}\).
Theo bài ra ta có:
\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(=\dfrac{bc+ac+ab}{abc}=bc+ac+ab\)
Ta lại có:
\(\left(a.b.c-1\right)+\left(a+b+c\right)-\left(bc+ca+ab\right)=0\)
\(=>\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(=>\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)
CHÚC BẠN HỌC TỐT.........
\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\\ \Leftrightarrow a+b+c=\dfrac{bc+ac+ab}{abc}\\ \Leftrightarrow a+b+c=bc+ac+ab\\ \Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ac+abc-1=0\\ -a\left(b-1\right)-c\left(b-1\right)+ac\left(b-1\right)+\left(b-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(-a-c+ac+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(a+\dfrac{1}{b}=-4\)
\(\Rightarrow\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^3=\left(-4\right)^3\)
\(\Rightarrow a^3+3.a^2.\dfrac{1}{b}+3.a.\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^3}=-64\)
\(\Rightarrow a^3+\dfrac{3a^2}{b}+\dfrac{3a}{b^2}+\dfrac{1}{b^3}=-64\)
\(\Rightarrow a^3+\dfrac{1}{b^3}=-64-\dfrac{3a^2}{b}-\dfrac{3a}{b^2}\)
\(\Rightarrow a^3+\dfrac{1}{b^3}=-64-\dfrac{3a}{b}\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(\Rightarrow a^3+\dfrac{1}{b^3}=-64-3.\left(-4\right).\left(-4\right)\)
\(\Rightarrow a^3+\dfrac{1}{b^3}=-112\)
\(P=a^3+\dfrac{1}{b^3}\\ =\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(a^2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{1}{b^2}\right)\\ =-4\left(a^2+\dfrac{2a}{b}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{a}{b}\right)\\ =-4\left[\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^2-\dfrac{a}{b}\right]\\ =-4\left[\left(-4\right)^2-\left(-4\right)\right]\\ =-80\)