Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
The nesbit: cái điều trên luôn đúng
Có nhiều cách cm nesbit:
Cauchy-Schwarz
AM-GM
Cách gì cũng dùng được cả. GG để tìm hiểu thêm nhé bạn
:)) giúp có tâm vờ lun giải ik siêng chút ik beengs vậy soan ày làm sao :))
Cjo 3 số dương a,b,c . CMR
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)
Do a,b,c dương
Để làm bài này bạn cần chứng minh BĐT sau\(\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{m+n}\)(m;n>0)
<=>(m+n)(nx2+my2)-mn(x+y)2\(\ge\)0
Mình làm tắt,rút gọn luôn
<=>n2x2-2mnxy+m2y2\(\ge\)0
<=>(nx-my)2\(\ge\)0
=>BĐT trên được chứng minh và dấu bằng xảy ra khi nx=my
Mở rộng cho 3 số \(\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}+\dfrac{z^2}{p}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\)
Áp dụng BĐT trên ta được:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
dạng này chắc chắc là phải dùng AM-GM ngược dấu rồi :)
Ta có:
\(\dfrac{1+b}{1+4a^2}=1+b-\dfrac{4a^2\left(b+1\right)}{4a^2+1}\ge1+b-\dfrac{4a^2\left(b+1\right)}{4a}=1+b-a\left(b+1\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\dfrac{1+c}{1+4b^2}\ge1+c-b\left(c+1\right);\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge1+a-c\left(a+1\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT=\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+c^2}\)
\(\ge3+\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)-\left(a+b+c\right)\)
\(=3-\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{4}=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
\(VT=\left(\dfrac{a}{1+4c^2}+\dfrac{b}{1+4a^2}+\dfrac{c}{1+4b^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+4c^2}+\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}\right)\)
\(VT=\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)+3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\)
Xét \(\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2a}{4c}=ca\\\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\\\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2c}{4b}=bc\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)\) (1)
Xét \(3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2}{4c}=c\\\dfrac{4a^2}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2}{4a}=a\\\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2}{4b}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge3-\left(ab+bc+ca\right)\) (3)
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{4}\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow3-\dfrac{3}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)\) (4)
Từ (3) và (4)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}\) (đpcm)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
Vì $1=a^2+b^2+c^2$ nên:
\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{c^2+a^2}\)
\(=3+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\)
\(\leq 3+\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}\) (theo BĐT AM-GM)
\(=3+\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
Bài 1:
Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên \(b+c-a; c+a-b; a+b-c>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:
\(\frac{a^2}{b+c-a}+(b+c-a)\geq 2\sqrt{a^2}=2a\)
\(\frac{b^2}{a+c-b}+(a+c-b)\geq 2\sqrt{b^2}=2b\)
\(\frac{c^2}{a+b-c}+(a+b-c)\geq 2\sqrt{c^2}=2c\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}+a+b+c\geq 2(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(ab+\frac{a}{b}\geq 2\sqrt{ab.\frac{a}{b}}=2a\)
\(ab+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{ab.\frac{b}{a}}=2b\)
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow 2(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a})\geq 2(a+b+1)\)
\(\Rightarrow ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq a+b+1\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
Có gì đâu nhỉ?
Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{4,5}{a+b+c}>\dfrac{3}{a+b+c}\)
áp dụng BĐT cauchy- schwarz ta có
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
⇔ \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
⇔ \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{3}{a+b+c}\) (đpcm)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}=3+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\)Ta có: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2;\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\ge2;\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3+2+2+2=9\)
Gọi \(A=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) Ta có:
\(A=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}\)\(=\left(\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{c}\right)\)
\(=\left(1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{b}+1+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+1\right)\)
\(=3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)\)
\(=3+\left(\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{ab}\right)+\left(\dfrac{b^2}{bc}+\dfrac{c^2}{bc}\right)+\left(\dfrac{c^2}{ac}+\dfrac{a^2}{ac}\right)\)
\(=3+\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{b^2+c^2}{bc}+\dfrac{c^2+a^2}{ac}\)
\(=3+\dfrac{a^2-2ab+b^2+2ab}{ab}+\dfrac{b^2-2bc+c^2+2bc}{bc}+\dfrac{c^2-2ac+a^2+2ac}{ac}\)
\(=3+\dfrac{\left(a-b\right)^2+2ab}{ab}+\dfrac{\left(b-c\right)^2+2bc}{bc}+\dfrac{\left(c-a\right)^2+2ac}{ac}\)
\(=3+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}+2+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{bc}+2+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{ac}+2\)
\(=9+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{bc}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{ac}\)
Ta thấy: \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) với \(\forall\) a, b
\(\dfrac{\left(b-c\right)^2}{bc}\ge0\) với \(\forall\) b, c
\(\dfrac{\left(c-a\right)^2}{ac}\ge\) 0 với \(\forall\) a, c
=> \(A\ge9\).
Vậy...
Chúc bạn học tốt!
A = \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
A = \(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel vào bài toán , ta có :
\(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\) ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\) ( * )
Ta lại có BĐT : x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx
⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
⇔ ( a + b + c)2 ≥ 3( ab + bc + ac)
⇔ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}\) ≥ 3 ( **)
Từ ( *;**) ⇒ \(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\) ≥ \(\dfrac{3}{2}\)
⇒ \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\) ≥ \(\dfrac{3}{2}\)
Đời về cơ bản là buồn... cười!!!Phùng Khánh LinhHong Ra Onchú tuổi gìNguyễn Ngô Minh TríNhã Doanh, và nhiều bạn khác...