Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
tran nguyen bao quan, Mysterious Person, @Nk>↑@, Khôi Bùi , DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG, Lê Bùi, Hung nguyen, Trần Quốc Lộc, Nguyễn Thanh Hằng, Hồng Phúc Nguyễn, Nguyễn Huy Tú, Phương An, Trần Việt Linh,...
cái này bảo tìm GT \(\Rightarrow\) P có GT cố định
ta có : \(a=b=c=1\) thỏa mãn đk bài toán
thế vào P ta có \(P=0\)
Bạn ghi đề sai rồi hèn chi giải chả ra!
\(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
Ta có : \(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3=3ab.bc.ac\)
Đặt \(ab=x;bc=y;ac=z\) . Khi đó , ta có :
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3+3x^2y+3y^2x\right)+z^3-3x^2y-3y^2x-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\end{matrix}\right.\)
Với \(x+y+z=0\Rightarrow ab+ac+bc=0\)
Với \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)
Lí luận tổng này \(\ge0\) ( làm tắt )
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-z=0\\x-z=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)
\(\Rightarrow ab=ac=bc\)
....
Đến bước này chịu , bạn xem đề có sai không ?
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=3abc=>a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(=>\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc=0\)
\(=>\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3a^2b-3ab^2-3abc=0\)
\(=>\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(=>\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(=>\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(=>\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
Vì a3+b3+c3=3abc và a+b+c khác 0
=>\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(=>\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(=>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Tổng 3 số không âm = 0 <=> chúng đều = 0
\(< =>\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}< =>a=b=c}\)
Vậy \(\frac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3a^2}{\left(3a\right)^2}=\frac{1}{3}\)
\(\)
Ta có ; \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ac\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
Vì \(a+b+c\ne0\) nên ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)
a) Thay a = b = c vào biểu thức được : \(\frac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3a^2}{\left(3a\right)^2}=\frac{3a^2}{9a^2}=\frac{1}{3}\)
b) Thay a = b = c vào P : \(P=\frac{2}{a}.\frac{2}{b}\frac{2}{c}=\frac{8}{abc}\)
Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\) \(\Leftrightarrow a+b+c=0\) hoặc a = b = c
theo gt thi a + b + c \(\ne0\) \(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow N=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3a^2}{9a^2}=\dfrac{1}{3}\)
ĐK: \(abc\ne0\)
\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2+c^2-c\left(a+b\right)\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)
TH1: \(a+b+c=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(\frac{a+b}{b}\right)\left(\frac{b+c}{c}\right)\left(\frac{a+c}{a}\right)=\frac{\left(-a\right).\left(-b\right)\left(-c\right)}{abc}=-1\)
TH2: \(a=b=c\)
\(\Rightarrow A=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
Đặt \(\hept{1\begin{cases}ab=x\\bc=y\\ca=z\end{cases}}\)thì ta có
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xyz-3xy\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy+xz-yz\right)-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=0\)
Ta có: x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz = 0
Đây là bất đẳng thức quen thuộc nên mình không chứng minh nhé.
Dấu = xảy ra khi x = y = z hay a = b = c
=> E = 2.2.2 = 8
Còn: x + y + z = 0 thì bạn nghĩ tiếp nhé
Giải:
Từ \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)
Ta xét các trường hợp:
Trường hợp \(1\): Nếu \(a+b+c=0\) thì:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{matrix}\right.\)
Thay vào \(P\) ta có:
\(P=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(=\left(\dfrac{a+b}{b}\right)\left(\dfrac{b+c}{c}\right)\left(\dfrac{a+c}{c}\right)\)
\(=\dfrac{-c}{b}.\dfrac{-a}{c}.\dfrac{-b}{a}=\dfrac{\cdot\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{b.c.a}=-1\)
Trường hợp \(2\): Nếu \(a=b=c\) thì:
\(P=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(=\left(1+\dfrac{a}{a}\right)\left(1+\dfrac{a}{a}\right)\left(1+\dfrac{a}{a}\right)\)
\(=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\)
\(=2.2.2=8\)
Vậy \(P=-1\) hoặc \(P=8\)
ta có : a3+b3+c3-3abc=0
\(\Rightarrow\)(a+b)3+c3-3abc-3a2b-3ab2=0
\(\Rightarrow\)(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab-ac-bc)-3ab(a+b+c)=0
\(\Rightarrow\)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0
\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\\\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=0\Leftrightarrow a=b=c=0\left(bỏ\right)\end{matrix}\right.\)ta có P=(1+\(\dfrac{a}{b}\))(1+\(\dfrac{b}{c}\))(1+\(\dfrac{c}{a}\))
\(\Leftrightarrow\)p=\(\left(\dfrac{b+a}{b}\right)\left(\dfrac{c+b}{c}\right)\left(\dfrac{a+c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\left(\dfrac{-c}{b}\right)\left(\dfrac{-a}{c}\right)\left(\dfrac{-b}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)P=-1