D
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CC
0
ML
10 tháng 8 2015
\(M\ge3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}=3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{1-2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\text{Đặt }t=\sqrt{1-2\left(ab+bc+ca\right)}\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1-t^2}{2}\)
\(\text{Ta có: }0\le ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\in\left[0;\frac{1}{3}\right]\)
\(\Rightarrow-2\left(ab+bc+ca\right)\in\left[-\frac{2}{3};0\right]\)
\(\Rightarrow1-2\left(ab+bc+ca\right)\in\left[\frac{1}{3};1\right]\)
\(\Rightarrow t\in\left[\frac{1}{\sqrt{3}};1\right]\)
\(M=3.\frac{1-t^2}{2}+2t=-\frac{3}{2}t^2+2t+\frac{3}{2}\)
Lập bảng biến thiên hàm bậc 2, suy ra \(\text{Min }M\text{ (}t\in\left[\frac{1}{\sqrt{3}};1\right]\text{) }=2\text{ tại }t=1\)
Vậy GTNN của M là 2 khi t = 1 hay \(ab+bc+ca=0\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right);\left(0;0;1\right);\left(0;1;0\right)\)
E
1
KD
7 tháng 4 2018
Nhã Doanh9GP
Phạm Nguyễn Tất Đạt8GP
Akai Haruma7GP
nguyen thi vang5GP
Nguyễn Thị Ngọc Thơ5GP
kuroba kaito4GP
Mashiro Shiina4GP
Nguyễn Phạm Thanh Nga4GP
lê thị hương giang3GP
Aki Tsuki3GP
TT
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 2 2020
Không mất tỉnh tổng quát, giả sử \(0\le a\le b\le c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c\le3\\a\left(a-b\right)\le0\\a\left(a-c\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(P=\left[a\left(a-b\right)+b^2\right]\left[a\left(a-c\right)+c^2\right]\left[\left(b+c\right)^2-3bc\right]\)
\(\Rightarrow P\le b^2c^2\left(9-3bc\right)=12.\frac{bc}{2}.\frac{bc}{2}\left(3-bc\right)\le\frac{4}{9}\left(\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}+3-bc\right)^3=12\)
\(\Rightarrow P_{max}=12\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và hoán vị
T
17 tháng 2 2020
Giả sử \(a\ge b\ge c\ge0\)
Ta sẽ chứng minh:\(P\le\frac{4}{243}\left(a+b+c\right)^6\)
Thật vậy:
\(P-\frac{4}{243}\left(a+b+c\right)^6\)
\(=\)
\(-\frac{1}{243}\left(a-2b\right)^2\left(2a-b\right)^2\left(a^2+11ab+b^2\right)\le0\) (cái này nhóm lại là thấy ngay:D)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\) và hoán vị.
LV
1 tháng 5 2018
\(BĐT\Leftrightarrow\)∑\(\left(\frac{b^2}{c}+a+b\right)\)\(\le\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\le\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-c\right)^2}{c}+\frac{\left(b-a\right)^2}{a}+\frac{\left(c-b\right)^2}{b}\ge0\)
MD
30 tháng 10 2018
Ta cần chứng minh
\(a+b+c\ge ab+bc+ca\)
do \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
đặt \(a=\dfrac{2y}{x+z};b=\dfrac{2z}{y+x};c=\dfrac{2x}{z+y}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{x}{y+z}\ge2\left(\dfrac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{yz}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)\)
dấu ''='' khi \(a=b=c=1\) hoặc \(a=b=2,c=1\)
HD
3
6 tháng 3 2020
a,b,c \(\ge\)0 và a + b + c =3 \(\Rightarrow a,b,c< 4\)
giả sử b là số nằm giữa a,c thì ( b - a ) ( b - c ) \(\le\)0
\(\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\Rightarrow ab^2+a^2c\le abc+a^2b\)
\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le abc+a^2b+bc^2\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Cần chứng minh \(b\left(3-b\right)^2\le4\Leftrightarrow b^3-6b^2+9b-4\le0\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2\left(b-4\right)\le0\)( luôn đúng )
Vậy GTLN của P là 4 khi ( a,b,c ) là hoán vị của bộ số ( 0 ; 1 ; 2 )
\(a^3+b^3+c^3=3bac\)
=>\(\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3bac=0\)
=>\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2-3ab\right]=0\)
=>\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)
=>\(\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\right)=0\)
=>\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)
=>\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)
=>\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
=>a=b=c
Chứng minh cái gì vậy bạn???