NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 9 2019
\(J=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{2\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge6\)
\(\Rightarrow J_{min}=6\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
DV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 9 2019
\(M=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge a+b+\frac{4}{a+b}=a+b+\frac{1}{a+b}+\frac{3}{a+b}\)
\(\Rightarrow M\ge2\sqrt{\frac{a+b}{a+b}}+3=5\)
\(\Rightarrow M_{min}=5\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
DV
1
VH
27 tháng 9 2019
\(\sqrt{a+b}.\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}\)
\(=\sqrt{2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}\ge\sqrt{2+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}}=\sqrt{2+2}=2\)
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 5 2020
\(B=a-b+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}+b\ge2\sqrt{\frac{4\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}}+b=\frac{4}{b+1}+b\)
\(B\ge\frac{4}{b+1}+b+1-1\ge2\sqrt{\frac{4\left(b+1\right)}{b+1}}-1=3\)
\(B_{min}=3\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=2\end{matrix}\right.\)
Câu C bạn coi lại đề, khi a>b>1 thì ko có min, a>b>0 mới có min
1
1
27 tháng 6 2020
Ta có : \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a.\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)
Mặt khác có : \(1+b^2\ge2b\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\Rightarrow a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại ta có :
\(P\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
14 tháng 8 2019
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :
\(\left(1^2+4^2\right)\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)\ge\left(a+\frac{4}{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow17\cdot\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)\ge\left(a+\frac{4}{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{17}\cdot\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\ge a+\frac{4}{b}\)
Tương tự ta có :
\(\sqrt{17}\cdot\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}\ge b+\frac{4}{c}\)
\(\sqrt{17}\cdot\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge c+\frac{4}{a}\)
Cộng theo vế của 3 bđt ta được :
\(\sqrt{17}\cdot\left(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\right)\ge a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{17}\cdot A\ge a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :
\(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\)
\(=16a+\frac{4}{a}+16b+\frac{4}{b}+16c+\frac{4}{c}-15a-15b-15c\)
\(\ge2\sqrt{\frac{4\cdot16a}{a}}+2\sqrt{\frac{4\cdot16b}{b}}+2\sqrt{\frac{4\cdot16c}{c}}-15\left(a+b+c\right)\)
\(\ge16+16+16-15\cdot\frac{3}{2}=\frac{51}{2}\)
Do đó : \(\sqrt{17}\cdot A\ge\frac{51}{2}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 6 2020
\(1=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}\Rightarrow\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\ge3\Rightarrow a^2b^2c^2\ge27\)
\(A=1+a^2b^2c^2+a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(A\ge1+27+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+3\left(\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\right)^2\)
\(A\ge1+27+3.3+3.3^2=...\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=...\)