Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì \(a;b>0\) nên \(\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}>0;\frac{\sqrt{a+b}}{a+b}>0\)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(S=\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{a+b}}{a+b}\ge2\sqrt{\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}.\frac{\sqrt{a+b}}{a+b}}=2.\sqrt{1}=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}=\frac{\sqrt{a+b}}{a+b}\Leftrightarrow a+b=1\)
Vậy GTNN của S là 2 tại a + b = 1
Từ giả thiết, ta có
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\Rightarrow a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)=4\)
=>\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1\)
Tháy vào, ta có M=\(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+b}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+c}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)
=\(\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)
=\(\sqrt{a}+\sqrt{c}+\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{c}+\sqrt{b}=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=4\)
Vậy M=4
^_^
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Phạm Vũ Trí Dũng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
từ giả thiết, ta có \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\Rightarrow xy+yz+xz=1\)
Ta có \(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1+x^2}{x^2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}}\) =\(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Áp dụng BĐT cô-si, ta có \(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
Tương tự, rồi cộng lại, ta có
A\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
=> A<=3/2
Dấu = xảy ra <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
^_^
Với a, b dương:
\(8^2=\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\ge\frac{4}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{ab}}\le\frac{64}{4}=16\)
max A=16 khi a=b=1/4