Q
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
1
9 tháng 9 2016
Tóm tắt :
\(a\ge0;b\ge0\rightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
NN
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 9 2018
Bài 1:
Chiều thuận:\(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x\vdots 3; y\vdots 3\)
Giả sử cả \(x\not\vdots 3, y\not\vdots 3\). Ta biết rằng một số chính phương khi chia 3 thì dư $0$ hoặc $1$.
Do đó nếu \(x\not\vdots 3, y\not\vdots 3\Rightarrow x^2\equiv 1\pmod 3; y^2\equiv 1\pmod 3\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv 2\pmod 3\) (trái với giả thiết )
Suy ra ít nhất một trong 2 số $x,y$ chia hết cho $3$
Giả sử $x\vdots 3$ \(\Rightarrow x^2\vdots 3\). Mà \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow y^2\vdots 3\Rightarrow y\vdots 3\)
Vậy \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x,y\vdots 3\)
Chiều đảo:
Ta thấy với \(x\vdots 3, y\vdots 3\Rightarrow x^2\vdots 3; y^2\vdots 3\Rightarrow x^2+y^2\vdots 3\) (đpcm)
Vậy ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 9 2018
Bài 2: > chứ không \(\geq \) nhé, vì khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\) thì cả 3 BĐT đều đúng.
Phản chứng, giả sử cả 3 BĐT đều đúng
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a(1-b)> \frac{1}{4}\\ b(1-c)> \frac{1}{4}\\ c(1-a)>\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a(1-a)b(1-b)c(1-c)> \frac{1}{4^3}(*)\)
Theo BĐT AM-GM thì:
\(a(1-a)\leq \left(\frac{a+1-a}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(b(1-b)\leq \left(\frac{b+1-b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(c(1-c)\leq \left(\frac{c+1-c}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow abc(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{4^3}\) (mâu thuẫn với $(*)$)
Do đó điều giả sử là sai, tức là trong 3 BĐT trên có ít nhất một BĐT đúng.
13 tháng 10 2017
Đề bài đúng mà bạn..có sai đâu...mình tính vẫn ra được kết quả cuối cùng
PK
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 6 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$A=a^2b^2(a^2+b^2)$
$4A=2ab.2ab(a^2+b^2)\leq \left(\frac{2ab+2ab+a^2+b^2}{3}\right)^3$
$=[\frac{(a+b)^2+2ab}{3}]^3=(\frac{16+2ab}{3})^3$
Mà:
$2ab\leq 2(\frac{a+b}{2})^2=2(\frac{4}{2})^2=8$
$\Rightarrow 4A\leq (\frac{16+8}{3})^3=512$
$\Rightarrow A\leq 128$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$
TA
0
DT
1
MD
27 tháng 9 2017
Áp dụng BĐT Bu - nhi- a ta có:
+) \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
+) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\le\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\le\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le a^3+b^3+c^3\left(đpcm\right)\)
\(\Rightarrow\) Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3\\a=b=c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Tóm tắt :
\(a\ge0;b\ge0\rightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Vậy \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}.\)
thanh nha