PK
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DH
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 9 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$ab^2-a^2b=ab(b-a)\leq a(1-a)\leq (\frac{a+1-a}{2})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
Ta có đpcm
Giá trị này đạt tại $b=1; a=\frac{1}{2}$
TA
0
14 tháng 7 2018
ta có : \(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6\ne\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\)
và \(a^2b^2\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\) cũng có thể âm
\(\Rightarrow\) sai
15 tháng 9 2016
\(Bdt\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\text{∑}\frac{a}{a^2+2b^2+c^2}\right)\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\left(1\right)\)
Ta dùng Bđt Bunhiacopski
\(VT\left(1\right)\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{\text{∑}a^3+2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)}\)
Vậy ta cần chứng minh \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{\text{∑}a^3+2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)}\ge\frac{3}{4}\left(2\right)\)
Thật vậy \(\left(2\right)\Leftrightarrow\text{∑}a^3+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\ge2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)
Bđt này luôn đúng theo Cauchy vì \(a^3+c^2a\ge2a^2c\)
-->Đpcm
15 tháng 9 2016
đề thế này \(\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}\) ak
DT
1
MD
27 tháng 9 2017
Áp dụng BĐT Bu - nhi- a ta có:
+) \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
+) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\le\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\le\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le a^3+b^3+c^3\left(đpcm\right)\)
\(\Rightarrow\) Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3\\a=b=c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Q
2
28 tháng 8 2016
Tóm tắt :
\(a\ge0;b\ge0\rightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Vậy \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}.\)
TA
1
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$A=a^2b^2(a^2+b^2)$
$4A=2ab.2ab(a^2+b^2)\leq \left(\frac{2ab+2ab+a^2+b^2}{3}\right)^3$
$=[\frac{(a+b)^2+2ab}{3}]^3=(\frac{16+2ab}{3})^3$
Mà:
$2ab\leq 2(\frac{a+b}{2})^2=2(\frac{4}{2})^2=8$
$\Rightarrow 4A\leq (\frac{16+8}{3})^3=512$
$\Rightarrow A\leq 128$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$