K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
3 tháng 4 2020
1)Cho a,b,c >0
Chứng minh bc/a^2(b+c) + ca/b^2(c+a) +ab/c^2(a+b) > hoặc = 1/2(1/a+1/b+1/c)
2) Cho a,b,c>0 1/a + 1/b + 1/c =1
Chứng minh (b+c)/a^2 + (c+a)/b^2 + (a+b)/c^2 > hoặc = 2
Đọc tiếp...
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
HT
2
C
23 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số dương:
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge2\sqrt{\frac{ab}{abc^2}}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2bc}}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{ac}{ab^2c}}=\frac{2}{b}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên. ta được:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(đpcm\right)\)
3 tháng 4 2020
cho a,b,c>0.
Chứng minh a/ bc + b/ac + c/ab > =2(1/a +1/b - 1/c)
.
NH
1
NT
1 tháng 5 2016
Xét VT = 1/ab + 1/(a² + b²) = 1/2ab + 1/(a² + b²) + 1/2ab
Áp dụng bđt: 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) với x, y >0 và với a + b = 1 ta có:
1/2ab + 1/(a² + b²) ≥ 4/(2ab + a² + b²) = 4/(a + b)² = 4
Áp dụng bđt 4xy ≤ (x + y)² ta có:
1/2ab = 2/4ab ≥ 2/(a + b)² = 2
=> VT ≥ 4 + 2 = 6
Dấu "=" xảy ra khi a = b và a + b = 1 nên a = b = ½
VT
10 tháng 11 2017
a/bc + b/ac >= 2.căn(1/c^2) = 2/c
tương tự:
a/bc + c/ab >= 2/b
b/ac + c/ab >= 2/a
cộng vế theo vế ;
ta đc
a/bc +b/ac+ c/ab >= 1/a +1/b +1/c
2)
a / (b+c) + 1 = (a+b+c)/(b+c)
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) + 3 = (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b))
áp dụng bđt cauchy quen thuộc
(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z) >= 9
=> 2(a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b))
= (a+b + b+c + c+a)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) >=9
=> (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) >= 9/2
=> (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) -3 >= 3/2
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) + 3 -3 >= 3/2
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >=3/2
Chắc làm vậy
LH
1
25 tháng 6 2017
Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{a-b}\)= \(\frac{a^2-2ab+b^2+2ab}{a-b}\)= \(\frac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}\)= (a -b) + \(\frac{2ab}{a-b}\)
Vì a>b>0 nên áp dụng BĐT Cô-Si cho 2 số không âm ta có :
(a - b) +\(\frac{2ab}{a-b}\)\(\ge\)\(2\sqrt{\left(a-b\right)\cdot\frac{2ab}{a-b}}\)= 2\(\sqrt{2ab}\)= \(2\sqrt{2}\)( Vì ab = 1) ( đpcm)
CH
1
NV
0
PN
14 tháng 3 2017
\(2.\) Bạn nghiêm túc gửi câu hỏi nhé!. Mình có lời giải rồi
\(ab>=1\Rightarrow ab>0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< 0\Rightarrow b< 0\\a>0\Rightarrow b>0\end{cases}}\)
TH1:a<0,b<0
\(\Rightarrow a+b< 0\)mà \(a^2+b^2>=0\Rightarrow a^2+b^2>a+b\)(1)
TH2:a>0,b>0
\(\left(a^2+b^2\right)\left(1^2+1^2\right)>=\left(a+b\right)^2\)(bđt bunhiacopxki)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)>=\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2>=\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)(2)
vì a>0,b>0\(\Rightarrow a+b>=2\sqrt{ab}>=2\cdot\sqrt{1}=2\)(bđt cosi)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{\left(a+b\right)\left(a+b\right)}{2}>=\frac{2\left(a+b\right)}{2}=a+b\)(3)
từ (2) và (3)\(\Rightarrow a^2+b^2>=a+b\)(4)
từ (1) và (4) \(\Rightarrow a^2+b^2>=a+b\)dấu = xảy ra khi a=b=1