Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(12=a+b+2ab\ge2ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow0< ab\le4\)
Chú ý: \(2ab=12-a-b\) . Do đó:
\(A=\frac{2a^2+2ab}{2a+4b}+\frac{2b^2+2ab}{4a+2b}\)
\(=\frac{2\left(a^2+4\right)+4-a-b}{2a+4b}+\frac{2\left(b^2+4\right)+4-a-b}{4a+2b}\)
\(\ge\frac{7a-b+4}{2a+4b}+\frac{7b-a+4}{4a+2b}=\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}+\frac{8}{3}\ge\frac{8}{3}\)
P/s: Em chưa check lại đâu, anh tự check đi:D Và chú ý cái dấu "=" cuối cùng của em chỉ đúng khi a + b +2ab = 12.
Cách khác:
Dễ thấy \(0< ab\le4\) (như bài trên)
\(A-\frac{8}{3}=\frac{2\left(a-2\right)^2}{2a+4b}+\frac{2\left(b-2\right)^2}{4a+2b}+\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}\ge0\)
P/s: Nếu bài trên đúng thì bài này đúng, bài trên sai thì bài này sai, vì bài này được suy ra từ bài trên:v
Lời giải:
$A=\frac{a(a+2b)-ab}{a+2b}+\frac{b(2a+b)-ab}{2a+b}$
$=a+b-\left(\frac{ab}{a+2b}+\frac{ab}{2a+b}\right)$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{ab}{a+2b}+\frac{ab}{2a+b}\leq \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)+\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{a+b}{3}$
$\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}(a+b)$
Mà:
$12=a+b+2ab\leq a+b+\frac{(a+b)^2}{2}$ (theo BĐT AM-GM)
$\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-24\geq 0$
$\Leftrightarrow (a+b+6)(a+b-4)\geq 0$
$\Rightarrow a+b\geq 4$
Do đó: $A\geq \frac{2}{3}(a+b)\geq \frac{8}{3}$
Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
Tìm GTNN a: $F= 14(a^2+b^2+c^2) + \dfrac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$ | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\le\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{3}\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^4\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
Ta lại có:
\(ab+bc+ca=\frac{1-\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)
Làm tiếp.
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Ngọc Ánh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
#Chưa sửa được mạng nên mượn máy nhà hàng xóm vì lỡ hứa.
Từ giả thiết ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{2}{c}\Leftrightarrow c=\frac{2ab}{a+b}\)
Thay vào \(M\) , ta được biểu thức mới:
\(M=\frac{a+\frac{2ab}{a+b}}{2a-\frac{2ab}{a+b}}+\frac{b+\frac{2ab}{a+b}}{2b-\frac{2ab}{a+b}}\)\(=\frac{a^2+3ab}{2a^2}+\frac{b^2+3ab}{2b^2}=\frac{1}{2}+\frac{3a}{2b}+\frac{1}{2}+\frac{3b}{2a}\)
\(\Leftrightarrow M=1+\frac{3}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
(Đến đây EZ rồi)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm, ta có:
\(\frac{3}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge\frac{3}{2}.2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=3\)
\(\Rightarrow M\ge4\)
Dấu \(''=''\) xảy ra khi \(a=b=c\)
Bạn thiếu điều kiện nên ko loại được nghiệm thôi.
Do a, b, c> 0 nên x,y>0
Do đó khi biện luận pt trên, ko phải biện luận pt có nghiệm suông mà phải là "có ít nhất một nghiệm dương"