Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ giả thiết, ta có
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\Rightarrow a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)=4\)
=>\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1\)
Tháy vào, ta có M=\(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+b}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+c}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)
=\(\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)
=\(\sqrt{a}+\sqrt{c}+\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{c}+\sqrt{b}=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=4\)
Vậy M=4
^_^
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt[3]{a+3b}=\sqrt[3]{1.1.(a+3b)}\leq \frac{1+1+a+3b}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq \frac{3}{a+3b+2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
$\Rightarrow P\geq 3\left(\frac{1}{a+3b+2}+\frac{1}{b+3c+2}+\frac{1}{c+3a+2}\right)$
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz:
\(\frac{1}{a+3b+2}+\frac{1}{b+3c+2}+\frac{1}{c+3a+2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)+6}=\frac{9}{4.\frac{3}{4}+6}=1\)
Do đó: $P\geq 3.1=3$
Vậy $P_{\min}=3$ khi $a=b=c=\frac{1}{4}$
từ giả thiết, ta có \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\Rightarrow xy+yz+xz=1\)
Ta có \(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1+x^2}{x^2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}}\) =\(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Áp dụng BĐT cô-si, ta có \(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
Tương tự, rồi cộng lại, ta có
A\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
=> A<=3/2
Dấu = xảy ra <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
^_^
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Phạm Vũ Trí Dũng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
Mk muốn làm giúp bạn lắm chứ nhưng mà khổ lỗi mk mới học lớp 6 . Xin lỗi bn
bài 2 gợi ý từ hdt (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)
VT (ở đề bài) = a+b+c
<=>....<=>3[căn bậc 3(a)+căn bậc 3(b)].[căn bậc 3(b)+căn bậc 3(c)].[căn bậc 3(c)+căn bậc 3 (a)]=0
từ đây rút a=-b,b=-c,c=-a đến đây tự giải quyết đc r
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{a^2}{4}+\frac{1}{a^2}\geq 1$
$\frac{b^2}{4}+\frac{1}{b^2}\geq 1$
$\frac{c^2}{4}+\frac{1}{c^2}\geq 1$
$\frac{3}{4}a^2\geq \frac{3}{2}; \frac{3}{4}b^2\geq \frac{3}{2}; \frac{3}{4}c^2\geq \frac{3}{2}$ do $a,b,c\geq \sqrt{2}$
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
$P\geq \frac{15}{2}$
Vậy $P_{\min}=\frac{15}{2}$ khi $a=b=c=\sqrt{2}$
bài n t vừa làm mà, vào link này nhé
https://olm.vn/hoi-dap/question/1129328.html